\documentclass[a4j,12pt,here]{jsbook}
%\documentclass[a4j,12pt,here,draft]{thesis} %draftオプション，画像が描写されないため高速にPDF化できる（画像領域は確保してくれる）
\usepackage{docmute}

\input{../setting}

\begin{document}
\chapter{機械的振動子のゼロ点振動}\label{thermalbath}\thispagestyle{chapheadings}
散逸項を通じて熱浴と結合している振動子の量子力学的な取り扱い \cite{Gardiner1985,Hauer2015} についてまとめる。
\section{準備}
質量$m$、共振周波数$\Omega_n/2\pi$、Q値$Q$の振動子を考える。$\Gamma:=\Omega_n/Q$を定義しておく。振動子の消滅演算子を$\hat{d}$とすると、運動方程式は
\begin{align}
\dot{\hat{d}}=-i\Omega_n\hat{d}-\frac{\Gamma}{2}\hat{d}-\sqrt{\Gamma}\hat{n}_\mathrm{in}\label{eomosc}
\end{align}
となる \cite{Gardiner1985,Hauer2015}。ここで、$\hat{n}_\mathrm{in}$は熱浴から流入してくる揺らぎの消滅演算子である。この運動方程式(\ref{eomosc})を周波数空間で解くと、
\begin{align}
\hat{d}(\Omega)&=\frac{-\sqrt{\Gamma}}{i(\Omega_n-\Omega)+\Gamma/2}\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega),\\
[\hat{d}(-\Omega)]^\dagger&=\frac{-\sqrt{\Gamma}}{-i(\Omega_n+\Omega)+\Gamma/2}[\hat{n}_\mathrm{in}(-\Omega)]^\dagger
\end{align}
を得る \cite{Hauer2015}。この式から、振動子の位置と運動量は$x_\mathrm{ZPF}:=\sqrt{\hbar/2m\Omega_n}$と$p_\mathrm{ZPF}:=\sqrt{m\hbar\Omega_n/2}$を用いて
\begin{align}
\hat{x}^\dagger(\Omega)&=x_\mathrm{ZPF}\left(\hat{d}(\Omega)+[\hat{d}(-\Omega)]^\dagger\right),\\
\hat{p}^\dagger(\Omega)&=p_\mathrm{ZPF}\left(-i\hat{d}(\Omega)+i[\hat{d}(-\Omega)]^\dagger\right)
\end{align}
と表せる。熱浴の演算子$\hat{n}_\mathrm{in}$は
\begin{align}
\langle\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega)[\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega')]^\dagger\rangle&=(n_b+1)2\pi\delta(\Omega-\Omega'),\\
\langle[\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega')]^\dagger\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega)\rangle&=n_b2\pi\delta(\Omega-\Omega'),\\
\langle\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega)\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega')\rangle&=\langle[\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega)]^\dagger[\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega')]^\dagger\rangle=0
\end{align}
を満たすので、たとえば基底状態にある振動子 ($n_b=0$) の位置揺らぎのパワースペクトルは
\begin{equation}
S_{x}^\mathrm{ZPF}(\Omega/2\pi)=\frac{\Gamma x_\mathrm{ZPF}^2}{(\Omega_n-\Omega)^2+\Gamma^2/4}\label{zpfpower}
\end{equation}
と表される。有限温度の熱浴に接している振動子の場合は$n_b=k_\mathrm{B}T/\hbar\Omega_n$とすればよい。ところで、時間反転した運動方程式から、熱浴へ流れ出ていく揺らぎの消滅演算子$\hat{n}_\mathrm{out}$は
\begin{equation}
\hat{n}_\mathrm{out}-\hat{n}_\mathrm{in}=\sqrt{\Gamma}\hat{d}
\end{equation}
を満たすことがわかる \cite{Gardiner1985}。この式を用いて、熱浴から流入する揺らぎと振動子の状態から熱浴へ流れ出ていく揺らぎを求めることができる。また後の便宜のため、熱浴のHermite演算子$\hat{X}_\mathrm{in},\,\hat{P}_\mathrm{in}$と$\hat{X}_\mathrm{out},\,\hat{P}_\mathrm{out}$を
\begin{align}
\hat{X}_a(\Omega)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{n}_a(\Omega)+[\hat{n}_a(-\Omega)]^\dagger\right),\\
\hat{P}_a(\Omega)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-i\hat{n}_a(\Omega)+i[\hat{n}_a(-\Omega)]^\dagger\right)
\end{align}
で定義しておく ($a=\mathrm{in},\mathrm{out}$)と、それらの揺らぎは
\begin{equation}
S_{X_a}=S_{P_a}=2n_b+1
\end{equation}
と表される。

\section{光学機械相互作用を含む場合}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{oscblock4.eps}
\caption[熱浴から流入出する揺らぎと振動子の光学機械相互作用]{熱浴から流入出する揺らぎと振動子の光学機械相互作用を表すブロック図。}\label{oscblock}
\end{figure}
以上の振動子についての準備を\ref{sec:qnany}節の量子雑音の議論に適用しよう。光学機械相互作用を取り入れるためには、振動子と熱浴のHamiltonianに相互作用項
\begin{equation}
H_\mathrm{int}=-\frac{2\hbar\omega_0AB_{lm,n}}{c}\hat{a}^{lm}_{1}x_\mathrm{ZPF}(d+d^\dagger)
\end{equation}
を加えればよい。すると、振動子の運動方程式(\ref{eomosc})は
\begin{align}
\dot{\hat{d}}=-i\Omega_n\hat{d}-\frac{\Gamma}{2}\hat{d}-\sqrt{\Gamma}\hat{n}_\mathrm{in}+\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{2\hbar\omega_0AB_{lm,n}}{c\sqrt{2}p_\mathrm{ZPF}}\hat{a}^{lm}_{1}\label{eomosc_modified}
\end{align}
と修正される。したがって、熱浴と相互作用する振動子に光学機械相互作用を取り入れた場合の系の運動はブロック図\ref{oscblock}で表される。

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{oscblock_simplified.eps}
\caption[Q値が高い極限でのブロック図]{熱浴から流入出する揺らぎと振動子の光学機械相互作用を表すブロック図を図\ref{qnanyblock_simplified}と同様にQ値が大きい極限で簡略化したもの。}\label{oscblock_simplified}
\end{figure}
ブロック図\ref{oscblock}に対して、Q値が十分高いという条件で図\ref{qnanyblock_simplified}と同様の簡略化を行うと、図\ref{oscblock_simplified}のように単純化される。ここで、$\hat{x}_\mathrm{shot}$は光の揺らぎが光学機械相互作用を通じて流入する効果であり、
\begin{align}
\hat{x}_\mathrm{shot}^\dagger&=\frac{t\hat{b}^{lm}_+}{2Ak_0B_{lm,n}i/\sqrt{2}}\\
&=x_\mathrm{ZPF}\frac{2i\hat{b}^{lm}_+}{\sqrt{\Gamma|\mathcal{R}_n|}}
\end{align}
と書ける。したがって図\ref{oscblock_simplified}より、
\begin{align}
\hat{n}_\mathrm{out}(\Omega)&=\left[-\frac{1}{1-R_n^*}\frac{\Gamma}{i(\Omega_n-\Omega)+\Gamma/2}+1\right]\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega)\nonumber\\
&\quad+\frac{2iR_n^*}{(1-R_n^*)\sqrt{|\mathcal{R}_n|}}\hat{b}^{lm}_+\\
&=\left[-\frac{2R_n^*}{(1-R_n^*)\mathcal{R}_n}+1\right]\hat{n}_\mathrm{in}(\Omega)+\frac{2iR_n^*}{(1-R_n^*)\sqrt{|\mathcal{R}_n|}}\hat{b}^{lm}_+,\\
[\hat{n}_\mathrm{out}(-\Omega)]^\dagger&=[\hat{n}_\mathrm{out}(-\Omega)]^\dagger
\end{align}
を得る。よって$\hat{n}_\mathrm{out}$のパワースペクトル$S_{n_{\mathrm{out}+}}$は、振動子が基底状態にある場合
\begin{equation}
S_{n_{\mathrm{out}+}}=\begin{cases}
1\qquad(\mathcal{R}_n<0)\\
1+\frac{8}{|1-R_n^*|^2}\frac{|R_n|^2}{|\mathcal{R}_n|}\qquad(\mathcal{R}_n>0)
\end{cases}
\end{equation}
となる。最終的に、$\mathcal{R}_n<0$のとき
\begin{equation}
S_{X_\mathrm{out}}=S_{P_\mathrm{out}}=1
\end{equation}
となることがわかる。この式から、光学機械相互作用を通じて入ってくる光の揺らぎを考慮に入れることで、熱浴から入ってくる揺らぎと熱浴へ出ていく揺らぎが等しくなることがわかる。



\end{document}



%\begin{figure}[h]
%\centering
%\includegraphics[width=12cm]{tilted.eps}
%\caption[ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図]{ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図。}\label{tilted}
%\end{figure}
