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\begin{document}
\chapter{電磁場の量子状態}\label{state}\thispagestyle{chapheadings}
干渉計型重力波検出器における光の状態を記述するのに必要ないくつかの量子状態についてまとめる \cite{Blow1990,Miao2010}。

\section{真空状態}
真空状態$\left|0\right\rangle$は、どの消滅演算子を作用させても0になる状態として定義される。つまり、
\begin{equation}
\hat{a}^{lm}_{\omega}\left|0\right\rangle=0
\end{equation}
である。これより、
\begin{equation}
\left\langle \hat{a}^{\dagger lm}_j(\Omega)\hat{a}^{l'm'}_k(\Omega')+\hat{a}^{l'm'}_k(\Omega')\hat{a}^{\dagger lm}_j(\Omega)\right\rangle=2\pi\delta_{ll'}\delta_{mm'}\delta_{jk}\delta(\Omega-\Omega')
\end{equation}
が導ける。したがって、式(\ref{crossformal})より真空状態での直交位相振幅$\hat{a}^{lm}_j(z,t)$のパワースペクトルとクロススペクトルは
\begin{equation}
S^{lm,l'm'}_{jk}(f)=\delta_{jk}\delta_{ll'}\delta_{mm'}\quad(j,k=1,2)\tag{\ref{vacspec}}
\end{equation}
となる。

\section{コヒーレント状態}
コヒーレント状態$|\alpha\rangle$は、真空状態に対して次のように変位演算子$\hat{D}[\alpha]$を作用させることで定義される。
\begin{equation}
|\alpha\rangle=\hat{D}[\alpha]\left|0\right\rangle=:\mathrm{exp}\left[\sum_{lm}\int_0^\infty\frac{d\omega}{2\pi}\, \alpha^{lm}(\omega)\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega}-\alpha^{\dagger lm}(\omega)\hat{a}^{lm}_{\omega}\right]\left|0\right\rangle.
\end{equation}
コヒーレント状態は消滅演算子の固有状態であり、
\begin{equation}
\hat{a}^{lm}_{\omega}|\alpha\rangle=\alpha^{lm}(\omega)|\alpha\rangle
\end{equation}
を満たす。

コヒーレント状態を考える際、状態を$\hat{D}[\alpha]$で変化させる代わりに任意の演算子$\hat{O}$を
\begin{equation}
\hat{O}\rightarrow \hat{D}^\dagger[\alpha]\hat{O}\hat{D}[\alpha]\label{coherenttrans}
\end{equation}
のように変換して、真空状態に対して期待値をとっても良い\footnote{Schr\"odinger描像とHeisenberg描像の関係と同じである。}。消滅演算子を式(\ref{coherenttrans})にしたがって変換すると
\begin{equation}
\hat{a}^{lm}_{\omega}\rightarrow\alpha^{lm}(\omega)+\hat{a}^{lm}_{\omega}
\end{equation}
となり、もとの演算子に複素数を足しただけのものになり扱いやすい。そこで、以降コヒーレント状態に対しては演算子を変化させて考えることとする。
変位演算子$\hat{D}[\alpha]$として、とくに
\begin{align}
\alpha^{lm}(\omega)&=\frac{A}{\sqrt{2}}2\pi\delta(\omega-\omega_0)\delta_{l0}\delta_{m0},\\
\hat{D}[\alpha]&=\mathrm{exp}\left[\frac{A}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega_0}-\hat{a}^{lm}_{\omega_0}\right)\right]
\end{align}
を考えることにする。この演算子から与えられるコヒーレント状態の電場は、
\begin{equation}
\hat{E}(\bm{x},t)=\sqrt{\frac{4\pi\hbar\omega_0}{c}}\left\{Au_{00}\cos\phi_{00}+\sum_{lm}u_{lm}\left[\hat{a}^{lm}_1(z,t)\cos\phi_{lm}+\hat{a}_2^{lm}(z,t)\sin\phi_{lm}\right]\right\}\tag{\ref{laserfield}}
\end{equation}
と書ける。第\ref{main}章でも述べたように、$A=\sqrt{2P/\hbar\omega_0}$のように電磁波のパワーと結びつく。このような光は、量子揺らぎと、ある周波数$\omega_0$の基本モードの古典的な電場の重ね合わせになっていることがわかり、理想的なレーザー光に対応する。

\section{スクイーズド状態}
スクイーズド状態$|\chi\rangle$は、真空状態に対して次のようにスクイーズ演算子$\hat{S}[\chi]$を作用させることで定義される。
\begin{equation}
|\chi\rangle=\hat{S}[\chi]\left|0\right\rangle=:\mathrm{exp}\left[\sum_{lm}\int_0^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}\, \chi^{lm}(\Omega)\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega_0+\Omega}\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega_0-\Omega}-\chi^{\dagger lm}(\Omega)\hat{a}^{lm}_{\omega_0+\Omega}\hat{a}^{lm}_{\omega_0-\Omega}\right]\left|0\right\rangle.
\end{equation}
コヒーレント状態のときと同様に、スクイーズ演算子の消滅演算子への作用を考える。$\chi^{lm}(\Omega)=\xi_{\Omega}\mathrm{e}^{-2i\phi_{\Omega}}$とおくと、
\begin{align}
S^\dagger\hat{a}_1S&=\hat{a}_1(\cosh\xi+\sinh\xi\cos2\phi)-\hat{a}_2\sinh\xi\sin2\phi,\\
S^\dagger\hat{a}_2S&=-\hat{a}_1\sinh\xi\sin2\phi+\hat{a}_2(\cosh\xi-\sinh\xi\cos2\phi)
\end{align}
のように変換される。この変換は、
\begin{equation}
\hat{a}_\zeta=\hat{a}_1\cos\zeta+\hat{a}_2\sin\zeta
\end{equation}
を用いて、
\begin{align}
S^\dagger\hat{a}_{-\phi}\,S&=\hat{a}_{-\phi}\,\mathrm{e}^\xi,\\
S^\dagger\hat{a}_{\frac{\pi}{2}-\phi}\,S&=\hat{a}_{\frac{\pi}{2}-\phi}\,\mathrm{e}^{-\xi}
\end{align}
と書くとわかりやすい。つまり、$-\phi$の方向の量子揺らぎが$\mathrm{e}^\xi$倍だけ増幅され、$\pi/2-\phi$の方向の量子揺らぎが$\mathrm{e}^{-\xi}$倍にスクイーズされているのがスクイーズド状態である。

真空状態とスクイーズド状態の直交位相振幅の揺らぎを図で表すと図\ref{squeezedstate}のようになる。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{squeezedstate.eps}
\caption[真空状態とスクイーズド状態の量子揺らぎ]{真空状態 (左) とスクイーズド状態 (右) の量子揺らぎを表す模式図。}\label{squeezedstate}
\end{figure}


\end{document}




















