\documentclass[a4j,12pt,here]{jsbook}
%\documentclass[a4j,12pt,here,draft]{thesis} %draftオプション，画像が描写されないため高速にPDF化できる（画像領域は確保してくれる）
\usepackage{docmute}

\input{../setting}

\begin{document}
\chapter{光学機械相互作用}\label{main}\thispagestyle{chapheadings}
光学機械相互作用とは、鏡の機械的運動が電磁場の揺らぎを励起したり、反対に電磁場の揺らぎが鏡の機械的運動を励起したりする相互作用である。光学機械相互作用を扱うオプトメカニクスは近年研究が盛んになってきており \cite{Aspelmeyer2014}、干渉計型重力波検出器においても非常に重要な位置を占めている。この章では、光の空間モードと鏡の剛体運動および弾性運動を考慮した光学機械相互作用の一般論を述べ、そしてその一般論を重力波検出器やそれに関連する分野での具体例に適用して議論するという新しい試みを行う。扱う具体例は、共振器における光ばね効果、干渉計型重力波検出器の量子雑音、Sidles--Sigg効果、PIといったこれまでに知られている現象に加え、光の高次空間モードを用いた鏡の回転運動測定や弾性モード測定の量子雑音といった今まで議論されていなかった対象も扱う。


%\subsection{}基本モードが鏡に当たり、鏡の運動により基本/高次モードが励起される
%\subsection{}基本モード/高次モードの揺らぎが、鏡の運動を励起する
%\subseciton{}キャビティの場合: 上記2つがフィードバックしあう
\section{一般論}\label{generictheory}
基本モードの単色レーザー光は、基本モードのある周波数$\omega_0$に対するコヒーレント状態で表される。ここで、電磁場の状態については補遺\ref{state}を参照。つまり、式(\ref{HGquad})より電場が
\begin{equation}
\hat{E}(\bm{x},t)=\sqrt{\frac{4\pi\hbar\omega_0}{c}}\left\{Au_{00}\cos\phi_{00}+\sum_{lm}u_{lm}\left[\hat{a}^{lm}_1(z,t)\cos\phi_{lm}+\hat{a}_2^{lm}(z,t)\sin\phi_{lm}\right]\right\}\label{laserfield}
\end{equation}
と表される。ここでレーザー光のパワーの平均値を$P$とすると、
\begin{align}
P=\frac{c}{8\pi}\cdot2\int_{-\infty}^\infty dxdy\left\langle \hat{E}^2(\bm{x},t)\right\rangle=\hbar\omega_0\frac{A^2}{2}
\end{align}
より\footnote{cgsガウス単位系を用いている。そのため電場のエネルギー密度は$E^2/8\pi$である。インテグラルの前の因子2は、磁場のエネルギー密度の分も含めるためのものである。$A^2/2$となっているのは、$\cos^2\phi$の時間平均が$1/2$であるためである。}、
$A=\sqrt{2P/\hbar\omega_0}$と表せる。式(\ref{laserfield})は、$\hat{E}=\hat{E}^{(+)}+\hat{E}^{(-)},(\hat{E}^{(+)}=\hat{E}^{(-)*})$と分解したとき
\begin{align}
\hat{E}^{(-)}(\bm{x},t)&=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\left\{AU_{00}(\bm{x},t)+\sum_{lm}U_{lm}(\bm{x},t)\left[\hat{a}^{lm}_1(z,t)-i\hat{a}^{lm}_2(z,t)\right]\right\}\\
&=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\left\{AU_{00}(\bm{x},t)+\sum_{lm}U'_{lm}(\bm{x},t;Z)\left[\hat{a}^{lm}_1(z,t;Z)-i\hat{a}^{lm}_2(z,t;Z)\right]\right\}
\end{align}
と書ける。ここで、
\begin{align}
U'_{lm}(\bm{x},t;Z)&=U_{lm}(\bm{x},t)\mathrm{e}^{-i(l+m)\zeta(Z)},\\
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{lm}_1(z,t;Z)\\
\hat{a}^{lm}_2(z,t;Z)\\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\cos(l+m)\zeta(Z)&\sin(l+m)\zeta(Z)\\
-\sin(l+m)\zeta(Z)&\cos(l+m)\zeta(Z)\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{lm}_1(z,t)\\
\hat{a}^{lm}_2(z,t)\\
\end{bmatrix}\label{rotofquad}
\end{align}
を定義して用いた。$U'_{lm}$は$z=Z$で$U_{00}$と位相がそろっている。

以上のように表される光が鏡に反射したときどのような相互作用が起こるのかについて、この節で文献 \cite{Evans2010a} の方法にならい、さらに詳細に述べる。

\subsection{鏡面の変位による電磁場の励起}\label{sub:excite1}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{surface.eps}
\caption[微小な変位がある鏡面での反射]{微小な変位がある鏡面での反射の模式図。}\label{surface}
\end{figure}
図\ref{surface}のように、鏡面に理想的な球面からの変位がある場合における光の反射を考えよう。理想的な球面の曲率半径は波面の曲率半径と一致しているものとする。変位$\Delta z$を、長さの次元を持つ量$C(t)$を用いて
\begin{equation}
\Delta z=C(t)f(x,y)\label{distortion}
\end{equation}
と書くことにする。すると、反射光$\hat{E}^{(-)}_\mathrm{refl}(\bm{x},t)$は
\begin{align}
\hat{E}^{(-)}_\mathrm{refl}(\bm{x},t)&=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\,AU_{00}\,\mathrm{e}^{-2ik_0C(t)f(x,y)}+(\text{fluc.})\\
&\simeq\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\,AU_{00}[1-2ik_0C(t)f(x,y)]+(\text{fluc.})\label{genericrefl}
\end{align}
と表されることがわかる。ここで、(fluc.)は量子揺らぎの項である。Hermite多項式は完全系を成すことから、$f(x,y)$をHermite多項式で
\begin{align}
f(x,y)&=\sum_{lm}b_{lm}\frac{1}{\sqrt{2^ll!2^mm!}}H_{lm}\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(Z)},\frac{\sqrt{2}x}{w(Z)}\right),\\
b_{lm}&=\int_{-\infty}^\infty dxdy \,u_{00}(x,y,Z)u_{lm}(x,y,Z)f(x,y)
\end{align}
のように展開することができる。$Z$は任意であるが、鏡の$z$座標の値を$Z$として選ぶことにする。この展開を用いると、式(\ref{genericrefl})はさらに
\begin{equation}
\hat{E}^{(-)}_\mathrm{refl}(\bm{x},t)\simeq\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\,A\left[U_{00}-2ik_0C(t)\sum_{lm}b_{lm}U'_{lm}(Z)\right]+(\text{fluc.})\label{genericrefl2}
\end{equation}
と書けることがわかる。この式より、鏡面の変位による揺らぎの項が
\begin{equation}
\hat{a}^{lm}_2(z,t;Z)\rightarrow 2Ak_0C(t)b_{lm}+\hat{a}^{lm}_2(z,t;Z)\label{genericrefl3}
\end{equation}
となることがわかる。つまり、鏡面の変位によりHGモードの電磁場が励起されるということである。

\subsection{輻射圧による鏡の運動の励起}\label{sub:excite2}
まず、揺らぎのあるレーザー光の輻射圧\footnote{輻射圧という言葉は名前に反してしばしば「輻射圧による力」という意味で用いられるが、ここでは圧力、つまり単位面積当たりの力を考える。}がどのように表されるかを調べるために、
\begin{equation}
\hat{E}^{(-)}(\bm{x},t)=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\,A\left[U_{00}+\sum_{lm}\hat{\beta}_{lm}(t)U'_{lm}(Z)\right]\label{genericpressure}
\end{equation}
で表される光の$z=Z$での輻射圧$p(x,y,t)$を求めると、
\begin{align}
p(x,y,t)&=\frac{2}{c}\frac{c}{4\pi}\frac{4\pi\hbar\omega_0}{c}\cdot\frac{A^2}{2}\left[u_{00}^2(x,y,Z)+2u_{00}(x,y,Z)\sum_{lm}\mathrm{Re}[\hat{\beta}_{lm}(t)]u_{lm}(x,y,Z)\right]\\
&=\frac{2P}{c}u^2_{00}(x,y,Z)+\frac{4P}{c}u_{00}(x,y,Z)\sum_{lm}\mathrm{Re}[\hat{\beta}_{lm}(t)]u_{lm}(x,y,Z)\label{pressure}
\end{align}
を得る。第1項は一定の輻射圧を表し時間的に一定であるため、以降は無視する。

つぎに、鏡面に圧力$p(x,y,t)$を受けた鏡がどのように運動するかを調べよう。鏡の中の点$[x,\,y,\,z]の光軸方向の$変位$f(x,y,z,t)$の運動方程式は、
\begin{equation}
\rho \ddot{f}=(f\text{の空間微分})+p(x,y,t)\delta(z=\text{surface})
\end{equation}
と書ける。ここで$\rho$は鏡の質量密度である。この運動方程式を鏡の固有モードを使って解くことを考える。固有モード$F_n(t)f_n(x,y,z)$が次のような条件
\begin{align}
(f_n\text{の空間微分})&=-\kappa_nf_n,\\
\rho \ddot{F}_{n}&=-\kappa_nF_{n}+\frac{1}{V}f_\mathrm{ex}\quad(V\text{: 鏡の体積})\nonumber\\
&\Rightarrow F_{n}=\chi_nf_\mathrm{ex},\label{elasticsus}\\
\int_\text{mirror}dVf_{n}f_{n'}&=V\delta_{nn'},\label{elasticortho}\\
\sum_{n}f_n(\bm{x})f_n(\bm{x'})&=V\delta^3(\bm{x}-\bm{x'})\label{elasticcomp}
\end{align}
を満たすとし\footnote{$\chi_n$は固有モードの感受率であり、周波数空間では$1/M[\Omega_0^2+i\Omega\Omega_0/Q-\Omega^2]$のように書ける。$M$は鏡の質量である。}、
\begin{equation}
f(x,y,z,t)=\sum_{n}C_n(t)f_n(x,y,z)
\end{equation}
と分解する。式(\ref{elasticcomp})より
\begin{equation}
p(x,y,t)\delta(z=\text{surface})=\sum_{n}f_n(x,y,z)\int\frac{dx'dy'}{V} \,p(x',y',t)f_n(x',y',z=\text{surface})
\end{equation}
と書けるので、式(\ref{elasticsus})より各$n$に対して
\begin{equation}
C_n(t)=\chi_n\int dx'dy' \,p(x',y',t)f_n(x',y',z=\text{surface})\label{elasticres}
\end{equation}
を満たす。この式により、鏡面に圧力を与えたときの鏡の応答がわかる。

そして式(\ref{pressure})と式(\ref{elasticres})を合わせて、輻射圧の揺らぎによる鏡の運動を考える。光の空間モードと鏡の運動のモードのオーバーラップ因子$B_{lm,n}$を
\begin{equation}
B_{lm,n}=\int dxdy\,u_{00}(x,y,Z)u_{lm}(x,y,Z)f_n(x,y,z=\text{surface})\label{overlapdef}
\end{equation}
で定義すると、
鏡の運動は
\begin{equation}
C_n(t)=\frac{4P\chi_n}{c}\sum_{lm}B_{lm,n}\,\mathrm{Re}[\hat{\beta}_{lm}(t)]\label{eom}
\end{equation}
のように決まることがわかる。

後の便宜のため、式(\ref{distortion})を
\begin{equation}
\Delta z=\sum_nC_n(t)f_n(x,y,z=\text{surface})\label{distortion2}
\end{equation}
のように鏡の固有モードで分解して記述したときの式(\ref{genericrefl2})と式(\ref{genericrefl3})を書いておく。
\begin{align}
\hat{E}^{(-)}_\mathrm{refl}(\bm{x},t)&=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\,A\left[U_{00}-2ik_0\sum_{lm,n}C_n(t)B_{lm,n}U'_{lm}(Z)\right]+(\text{fluc.}),\label{genericrefl4}\\
\hat{a}^{lm}_2(z,t;Z)&\rightarrow 2Ak_0\sum_nC_n(t)B_{lm,n}+\hat{a}^{lm}_2(z,t;Z).\label{genericrefl5}
\end{align}

\subsection{共振器によるフィードバック}
共振器を構成する鏡の面の変位により励起された電磁場は、共振器内で増幅されて鏡の運動を励起する。そしてその励起された運動が再び電磁場を励起する。このように、共振器では\ref{sub:excite1}, \ref{sub:excite2}節で述べた機構が結びつきフィードバックし合う。そこで、共振器内に生まれた電磁場がどのように増幅されるかをここで述べる。

式(\ref{intra})より、共振器内に生まれた周波数$\omega$の$lm$モードの光は
\begin{equation}
g(\phi):=\frac{1}{1-r\mathrm{e}^{-i\phi}}
\end{equation}
倍だけ増幅される。ここで$r$は共振器を構成する鏡の振幅反射率の積であり、$\phi=2\omega L/c-(l+m+1)\zeta_\mathrm{round}$である。$L$は共振器長であり、$\zeta_\mathrm{round}$は式(\ref{roundgouy})のように定まる\footnote{Fabry--Perot共振器の場合は式(\ref{roundgouy})のようにgファクターで決まるが、3つ以上の鏡からなる共振器の場合は1周の$ABCD$行列を考える必要がある \cite{Arai2013}。}固有モードの1周のGouy位相シフトである。さらに、$\phi_0=2\omega_0 L/c-\zeta_\mathrm{round}$を定義し、
\begin{equation}
g_{lm}(\Omega):=g\left(\phi_0+\frac{2L}{c}\Omega-(l+m)\zeta_\mathrm{round}\right)\label{ampbycavity}
\end{equation}
を定義しておく。

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{cavamp.eps}
\caption[共振器による電磁場の揺らぎの増幅]{共振器による電磁場の揺らぎの増幅を表す模式図。}\label{cavamp}
\end{figure}
それでは、共振器内に生まれた揺らぎがどのように増幅されるかを図\ref{cavamp}のように考えよう。
\begin{align}
\hat{E}^{(-)}&=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\,\sum_{lm}\left[\Delta\hat{a}^{lm}_1(t)-
i\Delta\hat{a}^{lm}_2(t)\right]U'_{lm}(Z),\\
\Delta\hat{a}^{lm}_j(z,t)&=\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\Omega}{2\pi} \left(\Delta\hat{a}^{lm}_j(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega(z/c-t)}+\text{h.c}\right)\quad(j=1,2)
\end{align}
のように表される揺らぎが生まれたとする。あるサイドバンド周波数$\Omega$に注目すると、$\omega_0\pm\Omega$の2つの周波数の光に分解されることがわかる。そして、それぞれの周波数の光は周波数に応じて共振器内で増幅される。さらに、増幅された後の電磁場を再び直交位相振幅で表すことができる。したがって共振器で増幅された後の直交位相振幅$[\hat{a}^{lm}_1(\Omega; Z),\,\hat{a}^{lm}_2(\Omega; Z)]$は、
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{lm}_1(\Omega)\\
\hat{a}^{lm}_2(\Omega)
\end{bmatrix}
&=V^{-1}\begin{bmatrix}
g^*_{lm}(\Omega)&0\\
0&g_{lm}(-\Omega)
\end{bmatrix}V
\begin{bmatrix}
\Delta\hat{a}^{lm}_1(\Omega)\\
\Delta\hat{a}^{lm}_2(\Omega)
\end{bmatrix}\nonumber\\
&=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
g^*_{lm}(\Omega)+g_{lm}(-\Omega)&i[g^*_{lm}(\Omega)-g_{lm}(-\Omega)]\\
-i[g^*_{lm}(\Omega)-g_{lm}(-\Omega)]&g^*_{lm}(\Omega)+g_{lm}(-\Omega)\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\Delta\hat{a}^{lm}_1(\Omega)\\
\Delta\hat{a}^{lm}_2(\Omega)
\end{bmatrix}\label{cavampeq}\\
&=:G_{lm}(\Omega)
\begin{bmatrix}
\Delta\hat{a}^{lm}_1(\Omega)\\
\Delta\hat{a}^{lm}_2(\Omega)
\end{bmatrix}\nonumber
\end{align}
と書ける。ここで$V$は図$\ref{cavamp}$で定義された通りである。

ここで式(\ref{cavampeq})を用いて、式(\ref{genericrefl3})のように励起された電磁場がどのように輻射圧に寄与するか考える。
\begin{equation}
C(t)=\int_{-\infty}^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}C(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega (t-Z/c)}
\end{equation}
とFourier変換すると、
\begin{equation}
\Delta\hat{a}^{\dagger lm}_2(\Omega) =2Ak_0C(\Omega)b_{lm}
\end{equation}
となることがわかる。式(\ref{cavampeq})より、
\begin{equation}
\hat{a}^{\dagger lm}_1(\Omega)=-iAk_0C(\Omega)b_{lm}[g_{lm}(\Omega)-g^*_{lm}(-\Omega)]=:iAk_0C(\Omega)b_{lm}G^-_{lm}(\Omega)
\end{equation}
と増幅される。ここで$G^-_{lm}(\Omega):=g^*_{lm}(-\Omega)-g_{lm}(\Omega)$を定義した。
\begin{equation}
A\cdot\mathrm{Re}[\hat{\beta}_{lm}(t)]=\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\Omega}{2\pi} \left(\hat{a}^{lm}_1(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega(z/c-t)}+\text{h.c}\right)
\end{equation}
であることに注意すると、鏡の$n$番目の固有モードへの寄与は式(\ref{eom})より
\begin{equation}
C_n(\Omega)=\frac{4Pk_0}{c}i\chi_n(\Omega)\sum_{lm}B_{lm,n}b_{lm}G^-_{lm}(\Omega)C(\Omega)
\end{equation}
と表すことができることがわかる。ここで、$C_n(\Omega)$と$\chi_n(\Omega)$は
\begin{align}
C_n(t)&=\int_{-\infty}^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}C_n(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega (t-Z/c)},\\
\chi_nC(t)&=\int_{-\infty}^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}\chi_n(\Omega)C(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega (t-Z/c)}
\end{align}
で定めた。

\subsection{まとめ}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{genericblock3.eps}
\caption[鏡の$n$番目の固有モードとTEM$lm$モードの相互作用]{鏡の$n$番目の固有モードとTEM$lm$モードの相互作用を表すブロック図。共振器内の電磁場の揺らぎ$\hat{a}_1^{\dagger lm}$による輻射圧の揺らぎが鏡の運動を励起し、輻射圧以外に起因するものも含めた鏡の運動$C_n$が電磁場の揺らぎを励起する。励起された電磁場の揺らぎは共振器に入射してきた光の揺らぎと重ね合わさり、共振器内で行列$G^*_{lm}$で表される増幅を受ける。}\label{genericblock}
\end{figure}
この節の内容をブロック図にまとめよう。
式(\ref{eom})、(\ref{genericrefl5})、(\ref{cavampeq})より、鏡の$n$番目の固有モードの運動とTEM$lm$モードの電磁場の揺らぎだけに注目したときの系のブロック図は図\ref{genericblock}のように書ける。このブロック図は次のように説明される。共振器内の電磁場の揺らぎによる輻射圧の揺らぎが鏡の運動を励起し、輻射圧以外に起因するものも含めた鏡の運動が電磁場の揺らぎを励起する。励起された電磁場の揺らぎは共振器に入射してきた光の揺らぎと重ね合わさり、共振器内で増幅される。
ここで図\ref{genericblock}からもわかるように、フィードバックループは$[G^*_{lm}]_{12}$成分を通じて閉じるため、フィードバックループを形成するためには$G^-_{lm}(=-2i[G^*_{lm}]_{12})$が0でない必要がある。また、2箇所のゲインがレーザー光の振幅$A$に比例しており、このループのループゲインが共振器内のレーザーのパワー$P$に比例することもわかる。

図\ref{genericblock}では1つの$n$と1つの$lm$についてしか書いていないが、本当は全ての$n$と$lm$を同時に考える必要がある。つまり、多入力多出力系として扱う必要があるということである。鏡のモードに注目した場合は次のような行列
\begin{align}
\mathcal{H}_{nn'}:=&\sum_{lm}\frac{2\hbar\omega_0A}{c}\chi_nB_{lm,n}\cdot[G^*_{lm}]_{12}\cdot2Ak_0B_{lm,n'}\\
=&\frac{4Pk_0i\chi_n}{c}\sum_{lm}G^-_{lm}B_{lm,n}B_{lm,n'}\label{mechloop}
\end{align}
でループが特徴付けられる。光の揺らぎに注目した場合も同様に
\begin{equation}
\mathcal{H}_{lm,l'm'}:=\frac{8Pk_0}{c}\sum_{n}i\chi_nB_{l'm',n}B_{lm,n}
\begin{bmatrix}
0&0\\
1&0
\end{bmatrix}
G^*_{l'm'}
\end{equation}
という行列がループを特徴付ける。
しかし実際には1入力1出力系としての取り扱いで十分な場合が多く、そのような取り扱いが正当化される理由は次節以降の個々の例で触れる。


\section{基本モード: 光ばねと量子雑音}\label{fundamental}
この節では、鏡の光軸方向の並進運動と光の基本モードの揺らぎの相互作用に前節の議論を適用することで、光ばね (および光減衰) 効果と干渉計型重力波検出器の量子雑音の表式を導出する。

並進運動を考えるということは、式(\ref{overlapdef})で
\begin{equation}
f_0(x,y,z)=1
\end{equation}
であるモードを考えるということである。ここで、並進運動のラベルを$n=0$と名付けた。このとき式(\ref{ortho})より、唯一の$0$でない$B_{lm,0}$を与えるのは$l=m=0$のときだけで、$B_{00,0}=1$である。したがって、並進運動を考えるときには基本モードだけを考えれば良い。つまり
\begin{equation}
\mathcal{H}_{0n}=\mathcal{H}_{n0}=\frac{4Pk_0i\chi_0}{c}G^-_{00}\delta_{0n}\label{simplified00}
\end{equation}
ということである。反対に基本モードの揺らぎを考えるとき、一般に$B_{00,0}$以外にも$B_{00,n}\ne0$である$n$が存在する。しかし、鏡を剛体として扱うことのできる周波数帯を考える場合には鏡の運動のモードとして並進運動だけ考えれば良くなる。なぜなら、回転運動 (例えば$f_1(x,y,z)\propto x$) に対しては$B_{00,n}=0$であるからである。よって、特に述べない限りは基本モードの揺らぎを考えるときには並進運動以外の鏡のモードは無視することにする。

\subsection{光ばね}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{opticalspring2.eps}
\caption[光ばねと光減衰を表す模式図]{光ばね (左) と光減衰 (右) を表す模式図。横軸が共振器長変動で縦軸が輻射圧による力である。}\label{opticalspring}
\end{figure}
共振器が共振から少しずれている場合には、共振器長の変化に応じて共振器内の光のパワーが変化し、輻射圧が鏡に対してばねのようにはたらく。この効果を光ばねという。定性的には図\ref{opticalspring}左のように理解できる。共振点よりも共振器長がやや長い場合には、共振器長が小さくなると輻射圧が増加して復元力を受けるということである。共振器長がやや短い場合に反ばね効果が起きることも同様にわかる。また、共振器長の変化の周波数が共振器内の電場が変化する時間の逆数よりも大きいとき、光減衰や光反減衰が起きることも同様に理解できる。共振器長の変化に対して内部の電場が遅れて変化するような場合には、共振器長が一巡の変化をする間に仕事 ($\oint Fdx$) を受ける (図\ref{opticalspring}右)。共振点より共振器長が短い (長い) とき、鏡が一巡で受ける仕事は負 (正) であり、光 (反) 減衰を受けることが見て取れる。以降で、この光ばね効果と光減衰効果を定量的に導出する。

まず$G^-_{00}(\Omega)$を求める。$\theta:=2L\Omega/c,\,\delta\phi_0\equiv\phi_0\,(\mathrm{mod}\, 2\pi)$とおき、$|\theta|\ll1,\,|\delta\phi_0|\ll1$とすると、
\begin{align}
G^-_{00}(\Omega)&=g^*_{00}(-\Omega)-g_{00}(\Omega)\\
&=\frac{1}{1-r\mathrm{e}^{i(\phi_0-\theta)}}-\frac{1}{1-r\mathrm{e}^{-i(\phi_0+\theta)}}\\
&\simeq\frac{2i\delta\phi_0}{(T/2+i\theta)^2+\delta\phi_0^2}\quad(T:=1-r^2)
\end{align}
と表される。鏡の変位から、変位によって生じる輻射圧による力までの伝達関数、つまりばね定数を$k(\Omega)$とおくと、$\mathcal{H}_{00}=-\chi_0k(\Omega)$であるから式(\ref{simplified00})よりばね定数は
\begin{align}
k(\Omega)&=-\frac{4Pk_0}{c}iG^-_{00}\\
&=\frac{8Pk_0}{c}\frac{\delta\phi_0}{(T/2+i\theta)^2+\delta\phi_0^2}\\
&=\frac{8Pk_0\delta\phi_0}{c}\frac{T^2/4+\delta\phi_0^2-\theta^2-iT\theta}{(T^2/4+\delta\phi_0^2-\theta^2)^2+T^2\theta^2}\\
&\simeq\frac{8Pk_0\delta\phi_0}{c}\left[\frac{1}{T^2/4+\delta\phi_0^2}-i\Omega\frac{2LT/c}{(T^2/4+\delta\phi_0^2)^2}\right]\label{springconstant}
\end{align}
と求まる。最後の式変形では$\theta$の最低次だけ残した。$k(\Omega)$の実部は復元力を表し虚部は減衰力を表すことを思い出すと、式(\ref{springconstant})が光ばね効果と光減衰効果の表式になっていることがわかる。式(\ref{springconstant})において、$\delta\phi_0$の符号 (共振点からどちらにずれているか) によって復元力と減衰力の符号が変わること、復元力と減衰力の相対的な符号から、光ばねと光反減衰、光反ばねと光減衰が組みになって現れることがわかる。また、減衰力の項で$i\Omega$の係数が$\Omega$に依存しないことから、減衰力が速度に比例した減衰力であることがわかる。

\subsection{量子雑音}\label{quantumnoise}
%まず、キャビティがない場合(G=I)を書く
%次に、SRFPMI
%HOMの回り込みをmention
ここでは、図\ref{genericblock}のexcitation of the motionと書かれた部分からループに入る鏡の並進運動を、共振器から出てくる基本モードの電磁場を通じて測定することを考える。このとき基本モードの量子揺らぎが測定の量子雑音を与える。共振器の外から入射する光や共振器で反射される光も具体的に書くと、図\ref{qnblock}のようなブロック図となる。
\begin{figure}%[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{qnblock2.eps}
\caption[鏡の並進運動と共振器に入射する基本モードの相互作用]{鏡の並進運動と共振器に入射する基本モードの相互作用を表すブロック図。}\label{qnblock}
\end{figure}
簡単のため、共振器のエンドミラーの反射率は$1$としロスもないとする。つまりフロントミラーの反射率と透過率について$r_1=r,\,t_1=\sqrt{T}$である。並進運動の変位$C_0(t)$を$\Delta \hat{z}(t)$と名付け、輻射圧以外による並進運動の励起を$\Delta \hat{z}_\mathrm{ex}(t)$と呼ぶことにし、$\Delta \hat{z}_\mathrm{ex}(t)=\int_{-\infty}^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}\Delta \hat{z}_\mathrm{ex}(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega t}$でFourier変換を定義する。

\subsubsection{1枚の鏡で反射されるだけの場合}
まず、単純であまり現実的ではないが重要な要素を多く含む例として、鏡が1枚だけあってその反射光の位相を通じて鏡の並進運動を測定する場合を考える。フロントミラーの透過率$T$が$1$であると言い換えることもできる。この場合$G_{00}$が単位行列になるため、光学機械相互作用が鏡の運動に対してループを作らない。したがって、
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\hat{c}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{c}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{a}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1&0\\
-\kappa_{0}&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{b}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{b}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0\\
2Ak_0\Delta \hat{z}^\dagger_\mathrm{ex}(\Omega)
\end{bmatrix}\label{onemirror}
\end{align}
を得る。ここで、
\begin{equation}
\kappa_0:=-\frac{2\hbar\omega_0A\chi_0^*}{c}2Ak_0=-\frac{8P\omega_0\chi_0^*}{c^2}
\end{equation}
を定義した。鏡は十分共振周波数の低い振り子として懸架されているとし、質量$m$の自由質点と見なせるような場合を考えよう。その場合$\chi_0=-1/m\Omega^2$であるから、
\begin{equation}
\kappa_0=\frac{8P\omega_0}{mc^2\Omega^2}
\end{equation}
となる。反射光の位相揺らぎ$\hat{c}^{00}_2(\Omega)$は$z_\mathrm{SQL}:=\sqrt{2\hbar/m\Omega^2}$を使うと
\begin{equation}
\hat{c}^{00}_2(\Omega)=\left[-\kappa_{0}\hat{b}^{00}_1(\Omega)+\hat{b}^{00}_2(\Omega)\right]+\sqrt{2\kappa_0}\frac{\Delta \hat{z}^\dagger_\mathrm{ex}}{z_\mathrm{SQL}}
\end{equation}
となるから、$\Delta \hat{z}^\dagger_\mathrm{ex}$を測定する際の量子雑音のパワースペクトル$S_{z,\pi/2}(f)$は、式(\ref{vacspec})より
\begin{equation}
S_{z,\pi/2}(\Omega/2\pi)=\left(\frac{z_\mathrm{SQL}}{\sqrt{2\kappa_0}}\right)^2\left(\kappa_0^2+1\right)=\frac{z_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_0}\left(\kappa_0^2+1\right)\label{qnsimple1}
\end{equation}
となる。ただし入射光がコヒーレント状態であるとした (補遺\ref{state})。

式(\ref{qnsimple1})の意味を考えよう。第2項は、もともとの入射光が持っている位相揺らぎ成分$\hat{b}^{00}_2(\Omega)$に起因しており、それがセンシング雑音となっていることを表している。そのためこの項は散射雑音を表す。散射雑音は周波数依存性がなく、白色雑音であることがわかる。次に第1項は、もともとの入射光の振幅揺らぎ成分$\hat{b}^{00}_1(\Omega)$に起因しており、その揺らぎが鏡を実際に振動させることによる変位雑音である。そのためこの項は輻射圧雑音を表すことがわかる。散射雑音である第2項は$1/\kappa_0$に比例しており、輻射圧雑音である第2項は$\kappa_0$に比例しており、両者はトレードオフの関係にあるため
\begin{equation}
S_{z,\pi/2}(\Omega/2\pi)=\frac{z_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_0}\left(\kappa_0^2+1\right)\ge z_\mathrm{SQL}^2\label{sql0}
\end{equation}
という不等式を満たす。そのため$z_\mathrm{SQL}$は標準量子限界 (standard quantum limit; SQL) と呼ばれる。SQLは次のように理解できる: 散射雑音を減らし精度よく測定するために入射光のパワー$P$ (つまり$\kappa_0$) を上げると、測定の反作用である輻射圧雑音が大きくなってしまい、最終的な測定の精度はSQLを超えることができない (図\ref{sqlandbeat})。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sqlandbeat.eps}
\caption[鏡の変位測定の量子雑音とSQL、SQLを超えての感度]{鏡の変位測定の量子雑音とSQL、SQLを超えての感度のスペクトル。パワースペクトルのルートをとったものである。緑、青、紫線の順で入射パワーが大きくなっている。パワーを変化させた場合の量子雑音のスペクトルの包絡線として黒線のSQLが現れる。赤線は、紫と同じパワーでホモダイン測定をあるホモダイン位相で行った場合のスペクトルである。}\label{sqlandbeat}
\end{figure}

ここまでは、測定したい変位の信号を含んでいる反射光の位相揺らぎ成分を測定することを考えたが、実は位相揺らぎ成分と振幅揺らぎ成分の線型和を測定するとSQLを超えることができる \cite{Kimble2002}。反射光の2つの直交位相振幅の次のような線型和
\begin{equation}
\hat{c}^{00}_\eta(\Omega)=\hat{c}^{00}_1(\Omega)\cos\eta+\hat{c}^{00}_2(\Omega)\sin\eta\label{homodef}
\end{equation}
を測定することを考えよう。
\begin{equation}
\hat{c}^{00}_\zeta(\Omega):=\sin\eta\left[(-\kappa_{0}+\cot\eta)\hat{b}^{00}_1(\Omega)+\hat{b}^{00}_2(\Omega)\right]+\sin\eta\sqrt{2\kappa_0}\frac{\Delta \hat{z}^\dagger_\mathrm{ex}}{z_\mathrm{SQL}}
\end{equation}
であるから、$\hat{c}^{00}_\eta(\Omega)$を通じて$\Delta \hat{z}^\dagger_\mathrm{ex}$を測定する際の量子雑音のパワースペクトル$S_{z,\eta}(f)$は、
\begin{equation}
S_{z,\eta}(\Omega/2\pi)=\frac{z_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_0}\left[(-\kappa_0+\cot\eta)^2+1\right]\label{qnsimple2}
\end{equation}
となる。この式より、位相揺らぎ成分に混ぜられた振幅揺らぎ成分が輻射圧雑音を打ち消すことで、SQLを超えて低減された量子雑音を得ることができることがわかる (図\ref{sqlandbeat})。
このように振幅揺らぎと位相揺らぎの線型和を測定できる方法としてホモダイン測定があり、$\eta$をホモダイン位相という。ホモダイン測定では、別に用意した基本モードのレーザー光 (ローカルオシレータ; LO) と測定したい基本モードの揺らぎ成分を適切な位相差で干渉させ、干渉した光のパワーを測定することで実現される (図\ref{homodyne})。

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{homodyne.eps}
\caption[]{ポンデロモーティブスクイージングを受けた電場とその測定の模式図。上段は入射光の様子を表し、中段は反射光の様子と反射光の位相揺らぎの測定、下段は反射光の様子と反射光の揺らぎのホモダイン測定を表している。LOと揺らぎを干渉させてパワーを測定した場合、LOと同じ方向の揺らぎがパワーの揺らぎに寄与するため、測りたいホモダイン位相の分だけ元のキャリア光と位相差を持ったLOを用意すれば行いたいホモダイン測定が実現できることがわかる。}\label{homodyne}
\end{figure}
なぜホモダイン測定によって輻射圧雑音を打ち消すことができるのかを考えよう。それは図\ref{homodyne}のように複素平面上で電場の様子を考えると理解できる。振幅揺らぎ$b_1$と位相揺らぎ$b_2$を持った光が鏡に反射すると、振幅揺らぎによって励起された鏡の並進運動による位相揺らぎ (図中$-\kappa_0b_1$) を新たに得る。その結果、直交する方向の独立した揺らぎ$b_1,b_2$を持っていた入射光は、図\ref{homodyne}のように反射によって$b_1$と$-\kappa_0b_1$のベクトル和と$b_2$という独立した揺らぎをもった光となる。したがって反射光は図\ref{homodyne}のようにスクイーズド状態となる。この現象はポンデロモーティブスクイージングと呼ばれる。図\ref{homodyne}の中段のように反射光の位相を測定する場合、$-\kappa_0b_1$と$b_2$は独立であるからこれら2つは単純に平方和で足されて雑音として寄与するが、下段のように$b_1$と$-\kappa_0b_1$のベクトル和と直交する方向でホモダイン測定をした場合、$b_1$に由来する寄与をなくすことができる。このことは、鏡の運動と電磁場の量子揺らぎの量子相関を使って打ち消していると説明することもできる。

\subsubsection{DRSE干渉計の場合}
実際の重力波検出器に用いられる干渉計に対応するような場合として、離調 (detune) をしたシグナルリサイクリング共振器を含むFabry--Perot Michelson干渉計\footnote{パワーリサイクリング共振器を含んでいてもよい。}を考える \cite{Buonanno2001,Buonanno2003,Buonanno2003a}。このような干渉計をdetuned RSE干渉計 (DRSE干渉計) と呼ぶ。干渉計のスケーリング則 \cite{Buonanno2003a} により、このような干渉計の量子雑音は、1つの実効的な共振器とそのエンドミラーの並進運動の変位を考えることで求めることができる。実効的な共振器の各種のパラメータ$P,T,\delta\phi_0$は次のように決まる \cite{Buonanno2003a}。
\begin{align}
P&=2P_\mathrm{c}=\frac{4}{T_\mathrm{ITM}}P_\mathrm{BS},\label{effectiveP}\\
T&=\frac{1-R_\mathrm{S}}{1+R_\mathrm{S}+2\sqrt{R_{S}}\cos2\delta\phi^\mathrm{S}_0}T_\mathrm{ITM},\label{effectiveT}\\
\delta\phi_0&=\frac{\sqrt{R_\mathrm{S}}\sin2\delta\phi^\mathrm{S}_0}{1+R_\mathrm{S}+2\sqrt{R_{S}}\cos2\delta\phi^\mathrm{S}_0}T_\mathrm{ITM}.
\end{align}
ここで、$P_\mathrm{c},P_\mathrm{BS}$はそれぞれ腕共振器内とBSでの光のパワー、$T_\mathrm{ITM}$は腕共振器のITMの透過率、$R_\mathrm{S}$はSEMの反射率、$\delta\phi^\mathrm{S}_0$はSE共振器の離調、つまり周波数$\omega_0$の基本モードの光が1周で得る位相である。また、実効的なETMの変位$\Delta z$や質量$m$は次のように決まる。
\begin{align}
\Delta z&=\frac{1}{2}Lh,\\
m&=\frac{1}{2}\,2M=M.
\end{align}
ここで、$L$は腕共振器の長さ、$h$は重力波の振幅、$M$はITMまたはETMの質量である\footnote{式(\ref{effectiveP})より実際の腕共振器内のパワーよりも2倍大きなパワーを考えているため、輻射圧の効果が実際と同じになるためには質量を2倍にする必要がある。さらに、ETMとITMの相対運動をETMのみの運動に押し付けているため換算質量を考える必要がある。よって$m=2M\cdot2M/(2M+2M)=M$である。}。

以上よりDRSE干渉計の量子雑音を考えるには、対応する実効的な共振器のエンドミラーの変位の測定に対する量子雑音を考えれば良いことがわかった。それでは、実効的な共振器に対する量子雑音の表式を求めよう。図\ref{qnblock}で、光学機械相互作用のループのループゲインを表す行列を$\mathcal{A}$とすると、共振器内の基本モードの揺らぎは
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{a}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}=
G_{00}(1-\mathcal{A})^{-1}\left(t\begin{bmatrix}
\hat{b}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{b}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}
+Ak_0L\begin{bmatrix}
0\\
h^*(\Omega)
\end{bmatrix}
\right)
\end{equation}
で求めることができる。ここで$\mathcal{A}$を求めると、
\begin{align}
\mathcal{A}&=\begin{bmatrix}
0&0\\
-\kappa_{0}&0
\end{bmatrix}
G_{00}\\
&=\begin{bmatrix}
0&0\\
-\kappa_{0}[G_{00}]_{11}&\mathcal{H}^*_{00}
\end{bmatrix}
\end{align}
であるから、
\begin{equation}
G_{00}(1-\mathcal{A})^{-1}=\frac{1}{1-\mathcal{H}^*_{00}}\begin{bmatrix}
[G_{00}]_{11}&[G_{00}]_{12}\\
(1-\mathcal{H}^*_{00})[G_{00}]_{21}-\kappa_{0}[G_{00}]_{11}[G_{00}]_{22}&[G_{00}]_{22}
\end{bmatrix}
\end{equation}
と表すことができる。ここで$\mathcal{H}^*_{00}$や$G_{00}$を求めておくと、
\begin{align}
\mathcal{H}^*_{00}&=\frac{\iota_c}{\Omega^2}\frac{\Delta}{(\gamma-i\Omega)^2+\Delta^2},\\
G_{00}&=\frac{c}{2L}\frac{1}{(\gamma-i\Omega)^2+\Delta^2}
\begin{bmatrix}
\gamma-i\Omega&-\Delta\\
\Delta&\gamma-i\Omega
\end{bmatrix}
\end{align}
である。ただし、
\begin{align}
\gamma&=\frac{Tc}{4L},\\
\Delta&=\delta\phi_0c/2L,\\
\iota_c&=\frac{4Pk_0}{mL}=\frac{8P_ck_0}{ML}
\end{align}
を定義した。また、ここでも$\chi_0=-1/m\Omega^2$とした。以上の準備で、図\ref{qnblock}より実効的な共振器から反射されてくる電場の揺らぎ$\hat{c}^{00}_j$の表式を求めることができて、
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\hat{c}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{c}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}&=
t\begin{bmatrix}
\hat{a}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{a}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}
-r\begin{bmatrix}
\hat{b}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{b}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}\\
&=\frac{1}{\mathcal{C}}
\left[
\mathbf{M}
\begin{bmatrix}
\hat{b}^{00}_1(\Omega)\\
\hat{b}^{00}_2(\Omega)
\end{bmatrix}+
\bm{D}h^*(\Omega)
\right]\label{reflDRSE}
\end{align}
である。ただし
\begin{align}
\mathcal{C}&=\Omega^2[(\Omega+i\gamma)^2-\Delta^2]+\Delta\iota_c,\\
\mathbf{M}&=\begin{bmatrix}
-\Omega^2(\Omega^2+\gamma^2-\Delta^2)-\Delta\iota_c&2\gamma\Delta\Omega^2\\
-2\gamma\Delta\Omega^2+2\gamma\iota_c&-\Omega^2(\Omega^2+\gamma^2-\Delta^2)-\Delta\iota_c
\end{bmatrix},\\
\bm{D}&=\begin{bmatrix}
\Delta\Omega\\
(-\gamma+i\Omega)\Omega
\end{bmatrix}\frac{2\sqrt{\gamma\iota_c}}{h_\mathrm{SQL}}
\end{align}
であり、$h_\mathrm{SQL}=\sqrt{8\hbar/ML^2\Omega^2}$である。この反射光の表式は、例えば文献 \cite{Miao2010} と一致している。以上より、共振器へ入射する光がコヒーレント状態だとして、この反射光を式(\ref{homodef})のようにホモダイン測定すると、量子雑音のパワースペクトル$S_{h,\eta}(f)$は
\begin{equation}
S_{h,\eta}(\Omega/2\pi)=\frac{[\cos\eta,\,\sin\eta]\mathbf{M}\,^\mathrm{t}\mathbf{M}\,^\mathrm{t}[\cos\eta,\,\sin\eta]}{|D_1\cos\eta+D_2\sin\eta|^2}\label{qnDRSE}
\end{equation}
と求まることがわかる。

式(\ref{reflDRSE})における注意点として、直交位相振幅が共振器内の古典光 (キャリア) を基準にして定義されているため、入射光のキャリアを基準にした直交位相振幅とは異なっている。この2つは、
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{00,\mathrm{incident}}_1(\Omega)\\
\hat{a}^{00,\mathrm{incident}}_2(\Omega)
\end{bmatrix}=
\frac{1}{\sqrt{\gamma^2+\Delta^2}}\begin{bmatrix}
\gamma&-\Delta\\
\Delta&\gamma
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{00,\mathrm{intra}}_1(\Omega)\\
\hat{a}^{00,\mathrm{intra}}_2(\Omega)
\end{bmatrix}
\end{equation}
で変換することができる。

式(\ref{qnDRSE})の特別な場合として、RSEの場合 ($\delta\phi_0^\mathrm{S}=\pi/2$) を考える。すると$\delta\phi_0=0$となり、$\Delta=0$となるから、
\begin{equation}
S_{h,\eta}(\Omega/2\pi)=\frac{h_\mathrm{SQL}^2}{2\mathcal{K}_0}\left[(-\mathcal{K}_0+\cot\eta)^2+1\right]
\end{equation}
を得る。ここで、
\begin{equation}
\mathcal{K}_0=\frac{2\gamma\iota_c}{\Omega^2(\Omega^2+\gamma^2)}
\end{equation}
である。この$\mathcal{K}_0$の表式より、散射雑音が$\Omega\gtrsim\gamma$から悪化し始めることがわかる。式(\ref{effectiveT})より
$T=T_\mathrm{ITM}(1+\sqrt{R_S})/(1-\sqrt{R_S})$となっているから、RSEによって実効的にITMの透過率が増加しそれに比例して$\gamma$も大きくなる。よって、RSEによって干渉計型重力波検出器の周波数帯域を広げることができることがわかる。

\section{1次モード: 角度不安定性と回転運動測定}
この節では、光軸に垂直な軸を中心とした鏡の回転運動とTEM10または01モードの揺らぎとの相互作用に\ref{generictheory}節の議論を適用することで、Sidles--Sigg効果 \cite{Sidles2006,Solimeno1991} と光てこのような方法による鏡の回転運動測定の量子雑音の表式 \cite{Enomoto2016b}を導出する。また、Sidles--Sigg効果による鏡の回転運動の不安定性の回避を、アクチュエータの取り付けることのできないミリグラムスケールの鏡に対して実証した実験 \cite{Nagano2016,Enomoto2016a,Nagano2016a}についても記述する。

光軸に垂直な軸を中心とした鏡の回転運動を考えるということは、式(\ref{overlapdef})で
\begin{align}
f_1(x,y,z)&=s_1x,\\
f_2(x,y,z)&=s_2y
\end{align}
であるモードを考えるということである。ここで、光軸は$z$軸であり、$y$軸中心の回転を$n=1$、$x$軸中心の回転を$n=2$と名付けた。$s_1,s_2$は規格化定数であり、式(\ref{elasticortho})より
\begin{align}
V&=s_j^2\int_\mathrm{mirror}dV\,x_j^2\\
\Rightarrow s_j^2&=M/I_j
\end{align}
と決まる。ここで、$M$は鏡の質量、$I_j$は回転運動$f_j$に対応する慣性モーメント$I_j=\int_\mathrm{mirror}dV\,\rho x_j^2$である。式(\ref{ortho})より、$f_1$に対して唯一の0ではない$B_{lm,1}$を与えるのは$l=1,\,m=0$のときだけであり、$f_2$に対しては$l=0,\,m=1$のときだけであり、そして
\begin{align}
B_{10,1}&=\int dxdy\,u_{00}(x,y,Z)u_{10}(x,y,Z)s_1x\\
&=\frac{s_1w(Z)}{2}\int dxdy\,\frac{2x}{w(Z)}u_{00}(x,y,Z)u_{10}(x,y,Z)\\
&=\frac{s_1w(Z)}{2},\\
B_{01,2}&=\frac{s_2w(Z)}{2}
\end{align}
である。したがって、回転運動$f_1$を考えるときにはTEM10モードの揺らぎだけを、回転運動$f_2$を考えるときにはTEM01モードの揺らぎだけを考えれば良い。

反対に10/01モードの揺らぎを考えるとき、一般に$B_{10,1}$や$B_{01,2}$以外にも0でない値を与える$n$が存在する。しかし、\ref{fundamental}節と同様に、鏡を剛体として扱うことのできる周波数帯域を考える場合には鏡の運動モードとして回転運動だけを考えれば良くなる。よって、特に述べない限りはこの節では回転運動以外の鏡の運動モードは無視することにする。

\subsection{角度不安定性}\label{angularinst}
共振器を構成する鏡の並進運動に対して光ばね効果や光減衰効果があったように、回転運動に対しても光学機械相互作用によって(反)復元トルクや(反)減衰トルクが生じる。反復元トルクが鏡を懸架する系の機械的な復元トルクを上回るような場合、その鏡の運動は角度不安定性を生じる。それではここで、Fabry--Perot共振器の1つの鏡の回転運動に対する(反)復元トルクや(反)減衰トルクの表式を図\ref{genericblock}と式(\ref{mechloop})から導こう。$f_1$に対する相互作用と$f_2$に対する相互作用は全く同様であるので、$y$軸を中心とした回転である$f_1$についてのみ考えることにする。

準備として次にような計算をしておく。$y$軸回りの回転角を$\delta\Theta(t)$とすると、鏡面の$z$軸方向の変位$\Delta z(x,y,t)$は
\begin{equation}
\Delta z(x,y,t)=C_1(t)s_1x=\delta\Theta(t)x
\end{equation}
と表されるので、
\begin{equation}
\delta\Theta(t)=s_1C_1(t)\label{s1formula}
\end{equation}
である。また、式(\ref{elasticres})より
\begin{align}
C_1(t)&=\chi_1\int dxdy\,p(x,y,t)s_1x\\
&=s_1\chi_1\left(\int dxdy\,p(x,y,t)x\right),\\
\Rightarrow \delta\Theta(t)&=\chi'_1\left(\int dxdy\,p(x,y,t)x\right),\\
\chi'_1&=s_1^2\chi_1=M\chi_1/I_1
\end{align}
を得る。ここで括弧の中身が$y$軸回りの回転に対応するトルクであることに注意すると、$\chi'_1$がトルクから回転角までの感受率であることがわかる\footnote{周波数空間では$M\chi_1/I_1=1/I_1[\Omega_0^2+i\Omega\Omega_0/Q-\Omega^2]$のように書ける。}。

回転角からトルクまでの伝達関数が「ばね定数」$k_\mathrm{rot}(\Omega)$であるため、その伝達関数を求めよう。式(\ref{mechloop})の$\mathcal{H}_{11}$を用いて、図\ref{genericblock}から考えると
\begin{equation}
\frac{1}{s_1}\times\mathcal{H}_{11}\times s_1=-k_\mathrm{rot}(\Omega)\chi'(\Omega)
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
k_\mathrm{rot}(\Omega)=-\mathcal{H}_{11}/\chi'(\Omega)\label{chotto}
\end{equation}
のように求めることができる。$\mathcal{H}_{11}$を求めるために、まず$G^-_{10}$を求めておく。周波数$\omega_0$の基本モードが共振しているとすると、
\begin{align}
G^-_{10}(\Omega)&=\frac{-2ir\mathrm{e}^{-i\theta}\sin\zeta_\mathrm{round}}{1-2r\mathrm{e}^{-i\theta}\cos\zeta_\mathrm{round}+r^2\mathrm{e}^{-2i\theta}}\\
&\simeq\frac{-i}{\tan(\zeta_\mathrm{round}/2)}\left(1-i\theta\frac{T}{4\sin^2(\zeta_\mathrm{round}/2)}\right)
\end{align}
が得られる。1行目から2行目の変形では$|\theta|\ll1$と$(1-\cos\zeta_\mathrm{round})\gg T$\footnote{1周のGouy位相が$2\pi$から十分離れているということである。$\zeta_\mathrm{round}\rightarrow2\pi$では、$z_0\rightarrow0$となり共振器の固有モードが定まらなくなってしまう。すべてのHGモードが共振してしまうと言うこともできる。}を用いた。次に、$B_{10,1}$に現れる$w(Z)$を求める。回転運動を考えている鏡のgファクターを$g_1$、もう一方を$g_2$と置くと、$w(Z)$はgファクターを用いて、
\begin{align}
w(Z)&=w_0^2\left(1+\frac{Z^2}{z_0^2}\right)\\
&=\frac{2L}{k_0}\frac{\mathrm{sgn}(g_1)g_2}{\sqrt{g_1g_2(1-g_1g_2)}}
\end{align}
と書ける。ここで、式(\ref{eigen0})と(\ref{eigenj})を用いている。以上の準備で、式(\ref{mechloop})より$\mathcal{H}_{11}$を求めると、
\begin{align}
\mathcal{H}_{11}&=\frac{4Pk_0i\chi_1}{c}\cdot\frac{-i}{\tan(\zeta_\mathrm{round}/2)}\left(1-i\theta\frac{T}{4\sin^2(\zeta_\mathrm{round}/2)}\right)\cdot\left(\frac{s_1w(Z)}{2}\right)^2\\
&=\chi'\,\frac{2P}{c}\frac{Lg_2}{1-g_1g_2}\left(1-i\Omega\frac{LT/c}{2(1-g_1g_2)}\right)
\end{align}
となる。$\zeta_\mathrm{round}$をgファクターで表すのに式(\ref{halfroundgouy})を用いた。したがって式(\ref{chotto})より、
\begin{equation}
k_\mathrm{rot}(\Omega)=-\frac{2P}{c}\frac{Lg_2}{1-g_1g_2}\left(1-i\Omega\frac{LT/c}{2(1-g_1g_2)}\right)\label{sseffect}
\end{equation}
を得る。$k_\mathrm{rot}$の実部が(反)復元トルクに対応し虚部が(反)減衰トルクに対応するので、これがSidles-Sigg効果 \cite{Sidles2006} や(反)減衰トルク \cite{Solimeno1991} の表式である。

式(\ref{sseffect})に関して、$1-g_1g_2>0$であることから、$g_2>0$ならば反復元トルクがはたらき$g_2<0$ならば復元トルクが働くこと、$g_2>0$ならば減衰トルクがはたらき$g_2<0$ならば反減衰トルクが働くことがわかる。光ばねの場合と同様に、復元トルクと減衰トルクの相対符号から、復元トルクと反減衰トルク、反復元トルクと減衰トルクが組みになって現れることがわかる。

\subsection{回転運動測定の量子雑音}\label{angularqn}
\ref{quantumnoise}節と同様に、図\ref{genericblock}のexcitation of the motionと書かれた部分からループに入る鏡の回転運動を、共振器から出てくる10や01モードの電磁場を通じて測定することを考える。このとき、10や01モードの量子揺らぎが回転運動測定の量子雑音を与えることを本研究は初めて明らかにした \cite{Enomoto2016b}。この測定の量子雑音に関わる光学機械相互作用を表すブロック図は完全に図\ref{qnblock}と同様であり、図\ref{qnrotblock}となる。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{qnrotblock2.eps}
\caption[鏡の回転運動と共振器に入射する10モードの相互作用]{鏡の回転運動と共振器に入射する10モードの相互作用を表すブロック図。直交位相振幅は、共振器内のキャリアと鏡の位置$Z$を基準に定められている。}\label{qnrotblock}
\end{figure}
図\ref{qnrotblock}を使うことで、鏡の並進運動の測定の量子雑音 (\ref{quantumnoise}節) と同様に回転運動測定の量子雑音を導くことができる。ここでは、簡単のため1枚の鏡に反射された光を測定する場合、つまりフロントミラーの透過率$T$が1である場合の鏡の$y$軸を中心とした回転運動測定を考え、並進運動の測定との類似性を使いながら議論する。

$y$軸を中心とする回転運動$f_1$の変位$C_1(t)$は、y$軸$回りの回転角$\delta\hat{\Theta}(t)$と式($\ref{s1formula}$)の比例関係にあり、輻射圧以外により励起された回転を$\delta\hat{\Theta}_\mathrm{ex}(t)$と呼ぶことにする。そして$\delta\hat{\Theta}_\mathrm{ex}(t)=\int_{-\infty}^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}\delta\hat{\Theta}_\mathrm{ex}(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega t}$でFourier変換を定義する。フロントミラーの透過率$T$が1であるので$G_{10}$は単位行列であり、光学機械相互作用が鏡の運動に対してループを作らない。したがって、式(\ref{onemirror})と同様に、
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\hat{c}^{10}_1(\Omega;Z)\\
\hat{c}^{10}_2(\Omega;Z)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\hat{a}^{10}_1(\Omega;Z)\\
\hat{a}^{10}_2(\Omega;Z)
\end{bmatrix}&=
\begin{bmatrix}
1&0\\
-\kappa_{1}&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{b}^{10}_1(\Omega;Z)\\
\hat{b}^{10}_2(\Omega;Z)
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0\\
2A\delta \hat{\Theta}^\dagger_\mathrm{ex}(\Omega)/\alpha(Z)
\end{bmatrix}\nonumber\\
&=
\begin{bmatrix}
1&0\\
-\kappa_{1}&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{b}^{10}_1(\Omega;Z)\\
\hat{b}^{10}_2(\Omega;Z)
\end{bmatrix}+
\frac{\sqrt{2\kappa_1}}{\Theta_\mathrm{SQL}}\begin{bmatrix}
0\\
\delta \hat{\Theta}^\dagger_\mathrm{ex}(\Omega)
\end{bmatrix}
\label{onemirrorrot}
\end{align}
を得る。ここで、$\alpha(Z)=2/k_0w(Z)$であり、
\begin{align}
\kappa_1&=-\frac{4Pw(Z)}{c\alpha(Z)}\chi'_1=\frac{4Pw(Z)}{I_1c\Omega^2\alpha(Z)},\\
\Theta_\mathrm{SQL}&=\sqrt{\frac{2\hbar}{I_1\Omega^2}}
\end{align}
である。鏡が自由な剛体と見なせるような場合を考え、$\chi'_1=-1/I_1\Omega^2$としている。
鏡の回転によって励起される10モードの光の表式が、式(\ref{superjitter})から与えられるものと一致していることが確認できる。また式(\ref{onemirrorrot})の表式が基本モードの場合と同様であることから、鏡の回転運動との相互作用によって反射光がポンデロモーティブスクイージングを受けていることがわかる。

反射光の10モードの揺らぎの表式が得られたので、次に、反射光に対してなんらかの測定を行うことを通じて$\delta\hat{\Theta}$を測定することを考えよう。ここでは、光てこのように、鏡から一定の距離だけ離れた場所 ($z=Z_\mathrm{meas}$) で反射光の横方向の位置を測定することを考えることにする。$z=Z_\mathrm{meas}$での反射光の横方向の位置を考えるために、反射光の電場を
\begin{equation}
\hat{E}^{(-)}(\bm{x},t)=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}\left\{AU_{00}+\sum_{lm}U'_{lm}(Z_\mathrm{meas})\left[\hat{c}^{lm}_1(z,t;Z_\mathrm{meas})-i\hat{c}^{lm}_2(z,t;Z_\mathrm{meas})\right]\right\}\label{reflectedfield}
\end{equation}
と書いておく。基本モードの光の$x$方向の位置は
\begin{equation}
\frac{\int_{-\infty}^\infty dxdy\,x\hat{E}^2   }{\int_{-\infty}^\infty dxdy\,\hat{E}^2}
\end{equation}
で求めることができるので、反射光の$x$方向の位置$\delta\hat{x}(t,Z_\mathrm{meas})$は
\begin{equation}
\delta\hat{x}(t,Z_\mathrm{meas})=w(Z_\mathrm{meas})\frac{\hat{c}^{10}_1(Z_\mathrm{meas},t;Z_\mathrm{meas})}{A}\label{generictransdisp}
\end{equation}
と求められることがわかる。ここで、$xu_{00}=wu_{10}/2$を用いた。ただし、位置検出に4分割光検出器 (quadrant photodetector; QPD) を用いることを仮定した場合については補遺\ref{QPD}を参照のこと\footnote{光てこでの横方向の位置検出には通常QPDを用いるが、QPDが検出する量は$\int_{-\infty}^\infty dxdy\,\mathrm{sgn}(x)\hat{E}^2$であるため、位置検出をQPDで行うことを仮定した場合以降の議論に修正を加える必要がある。}。式(\ref{generictransdisp})は、式(\ref{superjitter})の一般化になっており、式(\ref{superjitter})から幾何学的に得られる結果 \cite{Enomoto2016b} と一致している。式(\ref{rotofquad})より、$\psi:=\zeta(Z_\mathrm{meas})-\zeta(Z)$を用いて
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\hat{c}^{10}_1(z,t;Z_\mathrm{meas})\\
\hat{c}^{10}_2(z,t;Z_\mathrm{meas})\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\psi&\sin\psi\\
-\sin\psi&\cos\psi\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{c}^{10}_1(z,t;Z)\\
\hat{c}^{10}_2(z,t;Z)\\
\end{bmatrix}\label{conversionwithgouy}
\end{equation}
と表すことができるから、測定される量$\delta\hat{x}(t,Z_\mathrm{meas})$は、
\begin{align}
\delta\hat{x}^\dagger(\Omega,Z_\mathrm{meas})&=\frac{w(Z_\mathrm{meas})}{A}\left[\hat{c}^{10}_1(\Omega;Z)\cos\psi+\hat{c}^{10}_2(\Omega;Z)\sin\psi\right]\label{homoanalogy}\\
&=\frac{2w(Z_\mathrm{meas})\sin\psi}{\alpha(Z)}\bigg\{\delta \hat{\Theta}^\dagger_\mathrm{ex}(\Omega)\nonumber\\
&\quad+\frac{\sqrt{2\kappa_1}}{\Theta_\mathrm{SQL}}\left[(-\kappa_1+\cot\psi)\hat{b}^{10}_1(\Omega;Z)+\hat{b}^{10}_2(\Omega;Z)\right]\bigg\}\label{measuredvalue}
\end{align}
と表されることがわかる。式(\ref{homoanalogy})の形を見ると、この測定がホモダイン位相$\psi$のホモダイン測定になっていることがわかる。$\psi$は、鏡の位置から測定を行う位置まで伝播する間に得るGouy位相シフトであるから、光てこのような鏡の回転運動測定ではGouy位相シフトがホモダイン位相の役割を果たすのである。さらに、横方向の位置検出を行う場所を決めることがホモダイン位相を決めることに対応することもわかる。

測定される量の表式(\ref{measuredvalue})が得られたので、角度$\delta \hat{\Theta}_\mathrm{ex}$を測定する場合の量子雑音のパワースペクトルの表式を求めよう。入射光がコヒーレント状態であるとすると、式(\ref{vacspec})より量子雑音のパワースペクトル$S_{\Theta,\psi}(f)$は
\begin{equation}
S_{\Theta,\psi}(\Omega/2\pi)=\frac{\Theta_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_1}\left[(-\kappa_1+\cot\psi)^2+1\right]\label{rotquantumnoise}
\end{equation}
と求めることができる。この回転運動測定の量子雑音の表式(\ref{rotquantumnoise})は、並進運動の場合の表式(\ref{qnsimple2})と全く同じ形をしている。このことからもGouy位相シフト$\psi$がホモダイン位相の役割を果たすことがわかる。また、$\psi=\pi/2$のとき
\begin{equation}
S_{\Theta,\pi/2}(\Omega/2\pi)=\frac{\Theta_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_1}\left(\kappa_1^2+1\right)\ge\Theta_\mathrm{SQL}^2 \label{rotsql}
\end{equation}
であることも同様である。$\psi=\pi/2$は、横方向の位置検出をビームウエストで行い\footnote{通常は散射雑音のみを気にするため、式(\ref{snofqpd})から検出位置でのビーム径は小さい方がいい。}、入射光が鏡に当たるのはウエストから十分遠いところであるような、通常の光てこの構成の場合に対応する。したがって、そのような場合には量子雑音は$\Theta_\mathrm{SQL}$を超えることができず、$\Theta_\mathrm{SQL}$がSQLであるということを式(\ref{rotsql})は示している。さらに、$-\kappa_1+\cot\psi\simeq0$である周波数帯では輻射圧雑音の打ち消しによってSQLを超えることができるのも同様である。以上のような類似関係を、表\ref{analogy}にまとめておく。
\begin{table*}
\caption[並進運動測定と回転運動測定の量子雑音の類似関係]{鏡の並進運動測定と回転運動測定の量子雑音の類似関係。この表は、量子雑音の原因となるHGモード、そのモードの揺らぎによって生じる光の揺らぎ、ポンデロモーティブスクイージング (PS) の表式、ホモダイン測定を特徴付けるパラメータをまとめている。\label{analogy}}
\begin{tabular}{ccccc}\hline\hline
 モード&揺らぎ: $\hat{a}_1$&揺らぎ: $\hat{a}_2$&PS&ホモダイン測定\\ \hline
 TEM00&振幅&位相&$\hat{a}^{00}_2\rightarrow-\kappa_0\hat{a}^{00}_1+\hat{a}^{00}_2$&ホモダイン位相$\eta$\\
 TEM10&横方向の位置
 &傾き&$\hat{a}^{10}_2\rightarrow-\kappa_1\hat{a}^{10}_1+\hat{a}^{10}_2$&Gouy位相シフト$\psi$\\\hline\hline
\end{tabular}
\end{table*}

\subsection{軽量鏡の回転運動の不安定性回避の実証実験}
我々の研究室では、懸架された$23\,\mathrm{mg}$の軽量鏡を一端とするFabry--Perot共振器を用いて (図\ref{tiny})、図\ref{sqlandbeat}の赤線のような輻射圧雑音の打ち消しの実証を目指した実験を行っている \cite{Sakata2008,Mori2011,Nakano2014,Konisyo2015,Nishimura2015,Nagano2017}。我々の実験においては\ref{angularinst}節で述べた角度不安定性が非常に深刻になることが知られていた。なぜなら、輻射圧雑音低減の実証に必要となる輻射圧雑音に制限された測定は大きな共振器内パワーを要求し、大きな共振器内パワーは回転方向の大きな反ばね効果を生むからである。さらに、軽量鏡は非常に小さい (図\ref{tiny}) のでスペースや雑音の観点からアクチュエータを取り付けることができないため、鏡にアクチュエータが取り付けられる場合 \cite{Hirose2010,Dooley2013} のように鏡の回転運動を直接安定化させることができないからである。そこでこの小節では、我々\footnote{同研究室の修士2年の長野晃士氏と共同で実験を行った。}が行った回転運動の不安定性回避の実証実験 \cite{Nagano2016,Enomoto2016a} について\ref{angularinst}節の角度不安定性とその回避の1つの例として述べる。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{tiny.eps}
\caption[$23\,\mathrm{mg}$軽量鏡と共振器の写真]{$23\,\mathrm{mg}$軽量鏡 (左) と軽量鏡を含むFabry--Perot共振器 (右) の写真。}\label{tiny}
\end{figure}

\subsubsection{不安定性と制御方法の概要}
我々の実験系の共振器は、平面鏡である軽量鏡がエンドミラーであり、曲率半径$R$の鏡がフロントミラーである (図\ref{tiny})。そのため、軽量鏡の回転運動に対する反ばねトルク$T_\mathrm{RP}$の表式は式(\ref{sseffect})より
\begin{equation}
T_\mathrm{RP}=F_\mathrm{RP}(R-L)\theta_\mathrm{E}\label{antitorque}
\end{equation}
となる。ここで、$F_\mathrm{RP}$は共振器内の光の輻射圧による力$2P/c$であり、$\theta_\mathrm{E}$は軽量鏡の回転角である。また、ダンピング項は次に述べる機械的なダンピングに比べて非常に小さいと考えられるので無視した。

鏡は輻射圧によるトルクの他に、懸架系による機械的な復元トルクを受ける。我々の軽量鏡の場合は鉛直方向から1本のファイバーで吊られているため、鉛直軸を中心とした回転 (yaw方向と呼ぶ) に対する復元トルクが小さく、yaw方向の回転の不安定性が特に問題となる。よって、今後はyaw方向の回転のみ考えることにする。yaw方向の復元トルクのばね定数を$k_\mathrm{mech}$とすると、yaw方向の回転の運動方程式は
\begin{equation}
I\frac{d^2\theta_\mathrm{E}}{dt^2}=-[k_\mathrm{mech}-F_\mathrm{RP}(R-L)]\,\theta_\mathrm{E}\label{eqofrot}
\end{equation}
となる。したがって、共振器内パワーが増加し$[k_\mathrm{mech}-F_\mathrm{RP}(R-L)]<0$となると軽量鏡の回転運動は不安定になる。

この軽量鏡の回転運動の不安定性を回避するために我々は次のような制御法を考案した \cite{Mori2011,Nakano2014,Konisyo2015}。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=8cm]{controlsche.eps}
\caption[回転運動の制御法の概念図]{回転運動の制御法の概念図。軽量鏡上の光の位置$\delta r$を測定し、もう一方の鏡の回転$\theta_\mathrm{F}$へフィードバックする。}\label{controlsche}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{controlblock.eps}
\caption[回転運動の制御のブロック図]{共振器の鏡の回転運動を記述するブロック図。$T_{\mathrm{E(F)}}$は軽量鏡(もう一方の鏡)に作用する外部トルク、$G_{\mathrm{E(F)}}$は軽量鏡(もう一方の鏡)のトルクから角度までの感受率、$\theta_{\mathrm{E(F)}}$は軽量鏡(もう一方の鏡)の回転角である。$F_\mathrm{FB}$は制御フィルタの伝達関数に対応し、$A_\mathrm{F}$はアクチュエータ効率、$V_\mathrm{exc}$は制御ループに注入される電圧信号である。文献 \cite{Enomoto2016a} より。}\label{controlblock}
\end{figure}
この方法は、共振器で共振している光が軽量鏡上でどこに当たっているかを測定し、その測定結果を軽量鏡ではない鏡 (もう一方の鏡と呼ぶ) の回転へフィードバックするという方法である (図\ref{controlsche})。図\ref{controlsche}からわかるように、このフィードバックによって光の当たる位置を中心に近づけることができ、軽量鏡に加わる輻射圧による反ばねトルクを軽減することができる。実際、もう一方の鏡の回転角$\theta_\mathrm{F}$を考えに入れると、式(\ref{eqofrot})は
\begin{align}
I\frac{d^2\theta_\mathrm{E}}{dt^2}&=-[k_\mathrm{mech}-F_\mathrm{RP}(R-L)]\,\theta_\mathrm{E}-F_\mathrm{RP}R\theta_\mathrm{F}\label{eqofrot2}\\
&=-k_\mathrm{mech}\theta_\mathrm{E}+F_\mathrm{RP}(\delta r_1+\delta r_2)\label{eqofrot3}
\end{align}
となる。ここで$\delta r_1=-R\theta_\mathrm{F},\,\delta r_2=(R-L)\theta_\mathrm{E}$である。この制御をわかりやすく取り扱うために図\ref{controlblock}を考える。$H:=F_\mathrm{FB}A_\mathrm{F}G_{\mathrm{F}}R$を定義すると、$\delta r_2$から$\delta r:=\delta r_1+\delta r_2$までの伝達関数が$1/(1+H)$であることがわかるから、式(\ref{antitorque})が
\begin{equation}
T_\mathrm{RP}=\frac{1}{1+H}F_\mathrm{RP}(R-L)\theta_\mathrm{E}\label{eqofrot4}
\end{equation}
のようになり、この制御によって反ばねトルクが$1/(1+H)$倍に低減されることがわかる。

次に、軽量鏡上の光の位置$\delta r$を測定する方法について述べる。我々の実験では、図\ref{howtomeasure}のような方法を用いた。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{howtomeasure.eps}
\caption[軽量鏡上の光の位置$\delta r$の測定法]{軽量鏡上の光の位置$\delta r$の測定法の概念図。文献 \cite{Enomoto2016a} より。}\label{howtomeasure}
\end{figure}
この方法では、共振器の透過光を適切なレンズを通した後にQPDで横方向の位置を測定することで$\delta r$を測定した。$x_\mathrm{lens}=R-L,\,x_\mathrm{QPD}=2(R-L),\,f=(R-L)/2$とすればQPDで測定されるのは軽量鏡上の光の位置$\delta r$だけで、透過光の傾きの信号が混入しないことがわかっていたため\footnote{より一般に、$x_\mathrm{lens}=2f\,x_\mathrm{QPD}=4f$ならば良い。また、反射光に対してWFSを行ってもよい。}、そのようにレンズとQPDを配置して透過光を測定した。

\subsubsection{制御の効果の実証法}
制御による反ばねトルクの低減を実証する確実な方法は感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$を測定することだが、軽量鏡にはアクチュエータが付いていないのでトルクを与えることができず、感受率を直接測定することは困難である。そこで我々は、共振器で共振する光自身の輻射圧を使って軽量鏡の回転運動を励起し、$\delta r/T_\mathrm{F}$の測定\footnote{$\delta r$は先述したように測定し、$T_\mathrm{F}$は注入した$V_\mathrm{exc}$に比例すると考えられるため、伝達関数$\delta r/T_\mathrm{F}$は測定可能である。}を通じて感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$を求める方法を開発した \cite{Nagano2016,Enomoto2016a}。ブロック図\ref{controlblock}より、$\delta r/T_\mathrm{F}$は
\begin{equation}
\frac{\delta r}{T_\mathrm{F}}=\frac{-\,\frac{G_\mathrm{F}R}{1+H}G_\mathrm{E}^{-1}}{G_\mathrm{E}^{-1}-\frac{1}{1+H}F_\mathrm{RP}(R-L)}
\end{equation}
と表すことができる。これを用いると、感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$は
\begin{align}
\frac{\theta_\mathrm{E}}{T_\mathrm{E}}&=\frac{G_\mathrm{E}}{1-\frac{1}{1+H}G_\mathrm{E}(R-L)F_\mathrm{RP}}\\
&=-\frac{\delta r}{T_\mathrm{F}}\frac{1+H}{G_\mathrm{F}R}G_\mathrm{E}
\end{align}
となることがわかる。$H$, $G_\mathrm{F}$, $G_\mathrm{E}$は補助的な測定で知ることができるので、この式を通じて、測定した$\delta r/T_\mathrm{F}$から感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$を得ることができる。

\subsubsection{結果}
%Gouy phaseの観点から、別のレンズの選択肢あり、の考察
我々は上で述べた測定により、軽量鏡の回転運動の不安定性の回避を実証した。その実験結果について述べる。まず、不安定にならないような共振器内パワー ($[k_\mathrm{mech}-F_\mathrm{RP}(R-L)]>0$) で、感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$を測定したところ図\ref{susresult}のような結果を得た。
\begin{figure}
\centering
\subfloat[感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$の絶対値]{%
\centering
\includegraphics[width=6.5cm,clip]{susa.eps}
}
\subfloat[感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$の位相]{%
\centering
\includegraphics[width=6.5cm,clip]{susb.eps}
}
\caption[回転運動の感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$]{回転運動の感受率$\theta_\mathrm{E}/T_\mathrm{E}$の測定結果。印付きの色付き実線は測定値で、色付きの点線は理論線を表す。黒の点線は機械的な感受率の理論線$G_\mathrm{E}$を表す。文献 \cite{Enomoto2016a} より。}\label{susresult}
\end{figure}
この感受率の測定結果は、輻射圧の反ばねトルクで低下した共振周波数が、回転運動制御のゲインの上昇にしたがって元の機械的な共振周波数へと上昇していく様子がわかる。この結果は、$\delta r$を測定し$T_\mathrm{F}$へフィードバックする我々の回転運動制御が有効に、かつ理論通りにはたらいていることを示している。

次に、制御なしでは回転運動が不安定になってしまうような共振器内パワー ($[k_\mathrm{mech}-F_\mathrm{RP}(R-L)]<0$) での共振器のロックを行った。図\ref{controloff}は、この制御によって通常では不安定になるような共振器内パワーで動作させることができてたことを示している。
\begin{figure}
\centering
\subfloat[時系列データ。]{%
\centering
\includegraphics[width=6.8cm]{controloff.eps}
\label{controloff}}
\subfloat[Nyquist図。]{%
\centering
\includegraphics[width=6.2cm]{Nyquist.eps}
\label{Nyquist}}
\caption[回転運動制御による不安定性の回避]{(a) 共振器内パワーの時系列データ。時刻4秒において回転運動制御を切っている。黒の点線が臨界パワーである。(b) 軽量鏡の回転運動のNyquist図。青線が臨界パワーを超えた場合、緑線と赤線は臨界パワーを超えない場合である。水色の点線が単位円である。文献 \cite{Nagano2016a} より。}
\end{figure}
この図により、共振器内パワーが$[k_\mathrm{mech}-F_\mathrm{RP}(R-L)]=0$に対応する臨界パワーを超えなければ回転運動制御を切っても共振器のロックが継続し、臨界パワーを超えると回転運動制御を切った直後に共振器のロックが外れることがわかる。また図\ref{Nyquist}は、$\delta r/T_\mathrm{F}$の伝達関数の測定によって得られた$-G_\mathrm{E}(R-L)F_\mathrm{RP}$のNyquist図を示している。$-G_\mathrm{E}(R-L)F_\mathrm{RP}$は制御がない場合の軽量鏡の回転運動を特徴付けるループ伝達関数なので、このNyquist図から、図中の青線では制御がない場合には回転運動が不安定であることが見て取れる。

以上のように、我々はアクチュエータの付いていない小さな軽量鏡の回転運動の不安定性をこのような新規の制御手法によって回避できることを実証し、軽量鏡を用いた輻射圧雑音の低減の実証へ向けた大きな障害を取り除いた。

\section{高次モード: PIと機械的振動子の量子状態の転写}
この節では、鏡の弾性体としての運動を含む一般の運動と光の高次モード\footnote{基本モードでもよい。一般のモードという意味で用いている。}の揺らぎとの相互作用を鏡の運動の共振周波数付近で考えることで、パラメトリック不安定性 (parametric instability; PI) \cite{Braginsky2001,Evans2010a,Evans2015} が導かれることを確認し、さらに光の高次モードのスクイーズや高次モードを用いた鏡の運動の測定という新規手法を提案し、その量子雑音の表式を導出や物理的意味の議論を行う。

\subsection{パラメトリック不安定性}\label{secPI}
PIは、鏡の基材の弾性モードが光との相互作用によって増幅されてしまう不安定性であり、文献 \cite{Braginsky2001} により初めて指摘され、Advanced LIGOにおいて実際に観測された \cite{Evans2015}。重力波検出器の腕共振器の中の光のパワーを上げるとPIが起こってしまい検出器を観測状態に維持できないため、PIとその回避法の理解は検出器の感度と安定度の向上の双方にとって重要である。

PIは、図\ref{genericblock}のようなブロック図を考えることで理解できる \cite{Evans2010a}。図\ref{genericblock}のブロック図において、鏡の1つの弾性モード$n$に着目し、その共振周波数付近を考えることにする。実際の重力波検出器の鏡の弾性モードの共振の鋭さは$Q\sim10^{7}$程度であるので複数の共振が同じ周波数で重なることはほぼ考えられないため、注目した弾性モードの運動以外は無視することができる。すると、この弾性モードの運動に対する光学機械相互作用のループのループゲイン$R_n$は、式(\ref{mechloop})より
\begin{equation}
R_n=\mathcal{H}_{nn}=\frac{4Pk_0i\chi_n}{c}\sum_{lm}G^-_{lm}B_{lm,n}^2\label{comppgain}
\end{equation}
と表せる。したがって、この弾性モードの感受率$\chi_n=1/M[\Omega_n^2(1+i/Q_n)-\Omega^2]$は
\begin{align}
\chi_n&\rightarrow\frac{\chi_n}{1-R_n}\\
&=\frac{1}{M\Omega_n^2\left[1+\mathrm{Im}(R_n(\Omega_n))/Q_n+i(1-\mathcal{R}_n)/Q_n\right]-M\Omega^2}\label{PIsusceptibility}
\end{align}
と変更を受ける。ここで、パラメトリックゲイン$\mathcal{R}_n$を
\begin{equation}
\mathcal{R}_n=\mathrm{Re}[R_n(\Omega_n)]=\frac{4Pk_0Q_n}{M\Omega_n^2c}\sum_{lm}\mathrm{Re}\left[G^-_{lm}(\Omega_n)\right]B_{lm,n}^2\label{ppgain}
\end{equation}
を定義した。式(\ref{PIsusceptibility})の分母の虚部より、パラメトリックゲイン$\mathcal{R}_n$が$1$を超えると弾性モードのダンピングがアンチダンピングへと転じ、弾性モードが不安定になることがわかる。

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{PIhomreso.eps}
\caption[PIと高次モードの共振]{大きなパラメトリックゲインを与えるような高次モードの共振の模式図。この図では、$\omega-\Omega_n$のサイドバンドは最も近い共振で共振条件を満たしているが、一般にFSRの整数倍だけ離れたどの共振でもよい。}\label{PIhomreso}
\end{figure}
パラメトリックゲインが大きな値をとるためには、$B_{lm,n}$が大きな\footnote{$B_{lm,n}$が大きいというのは、$lm$次モードの電場の分布と$n$次モードの鏡表面の変位の分布が似ているということである。}$lm$に対して$\mathrm{Re}\left[G^-_{lm}(\Omega_n)\right]$が大きな値である必要がある。どのような場合に$\mathrm{Re}\left[G^-_{lm}(\Omega_n)\right]$が大きくなるかは、図\ref{PIhomreso}のように考えるとわかる。
$(l+m)$次モードの$\omega_0-\Omega_n$のサイドバンドが共振器の共振条件の近くであると、$\mathrm{Re}[g_{lm}(-\Omega)]$が大きくなるため、$\mathrm{Re}\left[G^-_{lm}(\Omega_n)\right]$が大きな値を取りうるのである。

\begin{table*}
\caption[Advanced LIGOで観測されたPIのパラメータ]{Advanced LIGOで観測されたPIのパラメータ。文献 \cite{Evans2015} より。\label{PIparams}}
\centering
\begin{tabular}{cccccccc}\hline\hline
 $P$&$\Omega_n/2\pi$&$Q_n$&$M$&$\lambda=k_0/2\pi$&$B_{lm,n}$&$\mathcal{R}_n$\\ \hline
 $50\,\mathrm{kW}$&$15.54\,\mathrm{kHz}$&$12\times10^6$&$40\,\mathrm{kg}$&$1064\,\mathrm{nm}$&$0.1$&$2$\\ \hline \hline
\end{tabular}
\end{table*}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{PImodes.eps}
\caption[PIが起きた鏡のモードと光の空間モード]{Advanced LIGOでPIを起こした鏡のモード (左) と、その不安定性を引き起こした光の空間モード (右)。左図は鏡の運動モードによる表面の変位を示し、右図は光の空間モードによる輻射圧の分布を示している。文献 \cite{Evans2015} より。}\label{PImodes}
\end{figure}
Advanced LIGOで初めて観測されたPIは、表\ref{PIparams}ようなパラメータ、図\ref{PImodes}のようなモードにおいて発生した \cite{Evans2015}。腕共振器内パワーが低いうちは、腕共振器の鏡の曲率半径を微調整することで$\zeta_\mathrm{round}$を調整し、PIに寄与している$\mathrm{Re}\left[G^-_{lm}(\Omega_n)\right]$を低下させることでPIに対処することができるが、パワーをAdvanced LIGOの設計値程度まで上げるとそれだけではPIを回避することができず、受動または能動ダンピングを行うことで実効的な$Q$を下げる必要がある \cite{Evans2015}。このことからPIは、Advanced LIGOが運悪く観測してしまったのではなく、干渉計型重力波検出器のさらなる感度向上の実現のためには積極的に解決しなけばならない問題であることがわかる。なお、Advanced LIGOのような実際の干渉計型重力波検出器でのPIを考える際には、$\mathrm{Re}\left[G^-_{lm}(\Omega_n)\right]$を求めるのにPR共振器やSE共振器の影響も考えて計算する必要がある \cite{Evans2010a}。
%%%%%%%%
% ブロック図的な立場で、PIの対処法を書く？いらない？？
%PI対処法を考える上で役にたつ、とか書く？考察に回すべき？
%%%%%%%%

\subsection{機械的振動子の量子状態の転写}\label{sec:qnany}
\ref{quantumnoise}節や\ref{angularqn}節と同様に、共振器から出てくる光の高次モードの揺らぎの測定を通じて、対応する鏡の運動モードを測定することを考えることができる。以下で、このような測定における量子雑音という新規な議論を行う。この小節ではPIのときと同様に、鏡の運動モード$n$の共振周波数$\Omega_n$付近を考え、サイドバンド周波数$\pm\Omega_n$の高次モードの片方だけが共振器で共振するような場合を取り上げる。そしてそのような場合に運動モードの測定の量子雑音の表式や高次モードが受けるスクイーズを明らかにする。なお、\ref{secPI}節と同様に、鏡のモードの共振は十分鋭く1つのモードだけを考えれば十分であるとする。また簡単のため、注目する光の高次モード以外は共振器で共振せず、無視できるような場合を考える\footnote{以下で扱う例ではこの仮定は満たされる。}。このような場合は、1つの運動モードと1つの光の空間モードだけを考えればよいので、図\ref{qnblock}や図\ref{qnrotblock}と全く同様のブロック図\ref{qnanyblock}を考えればよい。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{qnanyblock2.eps}
\caption[鏡の運動モードと共振器に入射するTEM$lm$モードの相互作用]{鏡の運動モードと共振器に入射するTEM$lm$モードの相互作用を表すブロック図。}\label{qnanyblock}
\end{figure}

特に、$\omega+\Omega_n$のサイドバンド (アッパーサイドバンド、$\omega-\Omega_n$のサイドバンドはロウワーサイドバンドという) のみ共振する場合、つまり$g_{lm}(\Omega_n)$は大きな値を取り$g_{lm}(-\Omega_n)$は小さな値を取るような場合を考えることにする。このようなとき、量子雑音は今まで知られていなかった非常に特異な性質を示す場合がある。そのような量子雑音の性質について以下で議論する。

反射光の揺らぎは式(\ref{reflDRSE})と同様に計算できて、
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\hat{c}^{lm}_1\\
\hat{c}^{lm}_2\\
\end{bmatrix}
&=\frac{1}{1-R_n^*}\left\{
\begin{bmatrix}
\frac{TG^{+*}_{lm}}{2}-1+R_n^*&-\frac{iTG^{-*}_{lm}}{2}\\
\frac{iTG^{-*}_{lm}}{2}+\frac{iTR_n^*(G^{+*2}_{lm}-G^{-*2}_{lm})}{2G^{-*}_{lm}}&\frac{TG^{+*}_{lm}}{2}-1+R_n^*\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{b}^{lm}_1\\
\hat{b}^{lm}_2\\
\end{bmatrix}\right.\nonumber\\
&\qquad\qquad\qquad+\left.\frac{2Ak_0B_{lm,n}}{\sqrt{T}}
\begin{bmatrix}
\frac{-iTG^{-*}_{lm}}{2}\\
\frac{TG^{+*}_{lm}}{2}\\
\end{bmatrix}
C^\dagger_{n,\mathrm{ex}}\right\}
\label{reflany}
\end{align}
となる。ここで、$G^+_{lm}(\Omega):=g^*_{lm}(-\Omega)+g_{lm}(\Omega)$を定義した。式(\ref{reflany})を用いれば、反射光の測定を通じて鏡の運動モードの変位を測定する場合の量子雑音の表式を導出することができる。そこで例えば、この式をAdvanced LIGOの腕共振器と鏡に適用することで量子雑音の表式を求めると図\ref{qnanyplot}のようになる。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{qnhom_upper1_spectrum.eps}
\caption[鏡の弾性モード測定の量子雑音]{鏡の弾性モードの測定の量子雑音の例。Advanced LIGOの腕共振器の鏡の弾性モードを3次モードの測定を通じて測定した場合の量子雑音。横軸は共振周波数で規格化した周波数である。赤の実線は$[\hat{c}^{lm}_1+i\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$を測定した場合、赤の鎖線は$[\hat{c}^{lm}_1+\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$を測定した場合の量子雑音である。黒線はSQLであり、青線は弾性モードのゼロ点振動のパワースペクトルである。}\label{qnanyplot}
\end{figure}
\begin{table*}
\caption[鏡の弾性モード測定の量子雑音のパラメータ]{鏡の弾性モード測定の量子雑音の計算に用いたパラメータ。共振周波数$\Omega_n/2\pi$やオーバーラップ因子$B_{lm,n}$はAdvanced LIGOの理論値を用いた \cite{Gras2016}。アッパーサイドバンドは共振周波数でちょうど共振器の共振条件を満たすと仮定したが、このことはAdvanced LIGOの腕共振器の曲率変動の範囲内 \cite{Evans2015,Ju2009} で実現可能である。\label{qnanytable}}
\centering
\begin{tabular}{cccccccc}\hline\hline
 $P$&$\Omega_n/2\pi$&$Q_n$&$M$&$\lambda=k_0/2\pi$&$B_{lm,n}$&$\mathcal{R}_n$\\ \hline
 $34.35\,\mathrm{kW}$&$23.019\,\mathrm{kHz}$&$12\times10^6$&$40\,\mathrm{kg}$&$1064\,\mathrm{nm}$&$0.42483$&$-1.000$\\ \hline \hline
\end{tabular}
\end{table*}
このグラフは、共振周波数$23.019\,\mathrm{kHz}$の鏡の弾性モードの振幅を、ある3次の空間モードの測定を通じて測定した場合の量子雑音のパワースペクトルを示している。計算に用いたパラメータは表\ref{qnanytable}にまとめている。図\ref{qnanyplot}では、synodyne測定\footnote{ホモダイン測定では$\hat{c}^{lm}_1\cos\eta+\hat{c}^{lm}_2\sin\eta$という量を測定するが、synodyne測定では$\hat{c}^{lm}_1\cos\eta+\hat{c}^{lm}_2\mathrm{e}^{i\phi}\sin\eta$という量を測定する。} \cite{Buchmann2016} を行った場合共振周波数付近においてSQLを超えた感度を得ることができ、鏡の弾性モードの基底状態のゼロ点振動を測定するのに十分な感度を与える。機械的振動子のゼロ点振動やそのパワースペクトルについては補遺\ref{thermalbath}を参照。なお、自由質点と見なせないような周波数帯域も含めて一般にSQLは$\sqrt{2\hbar|\chi_n|}$と表される \cite{Braginsky1995,Miao2010}。また、ちょうど共振周波数のところではゼロ点振動と量子雑音のS/N比が非常に高くなっていることがわかる。以上のような量子雑音の特異な性質は、反射光の受けるスクイージングを見ることでもわかる (図\ref{qnanysq})。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=11.5cm]{qnhom_upper2_sq.eps}
\caption[反射光の高次モードの量子揺らぎのパワースペクトル]{反射光の量子揺らぎのパワースペクトル。横軸は共振周波数で規格化した周波数である。赤の実線は$[\hat{c}^{lm}_1+i\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$という成分、赤の鎖線は$[\hat{c}^{lm}_1+\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$という成分、緑の鎖線は$[\hat{c}^{lm}_1-\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$という成分の反射光の揺らぎに対する入射光の量子揺らぎの寄与である。黒線は散射雑音レベルの揺らぎ、つまり真空揺らぎのレベルである (青線と重なっている)。青線は弾性モードのゼロ点振動の寄与を考慮に入れた場合の反射光の量子揺らぎである (黒線と重なっている)。青線はどの成分を測定しても同じであった。}\label{qnanysq}
\end{figure}
図\ref{qnanysq}は、反射光の量子揺らぎ$\hat{c}^{lm}_1\cos\eta+\hat{c}^{lm}_2\mathrm{e}^{i\phi}\sin\eta$の線形結合のパワースペクトルを示している。$[\hat{c}^{lm}_1+i\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$という揺らぎ成分は、共振周波数において入射光の揺らぎに由来する揺らぎが$0$になっていることがわかる。$[\hat{c}^{lm}_1+i\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$という成分に弾性モードの変位が完全に転写されていると表現することもできる。このことが、ゼロ点振動と光の量子雑音の高いS/N比の理由である。また図\ref{qnanysq}は、弾性モードのゼロ点振動の寄与を考えないと、直交する2つの方向の反射光の揺らぎがどちらもスクイーズを受けているかのように考えられることも示している。さらに、弾性モードのゼロ点振動を考慮に入れると反射光の揺らぎは散射雑音レベルとなることも示している。つまりこのことから、ポンデロモーティブスクイージングを考える際には鏡の振動の量子揺らぎも考慮に入れて反射光の揺らぎを導く必要があること、変位がスクイーズされゼロ点振動以下の位置揺らぎを持つ振動子を用意できれば \cite{Chen2013} 直交する2つの方向の反射光の揺らぎがどちらもスクイーズを受けた光が得られること、の2点がわかる。

以上のような量子雑音の特異な性質を具体例に依らずに理解するために、共振器のフィネスが十分高く、またアッパーサイドバンドが鏡の運動モードの共振周波数でちょうど共振条件を満たす場合を考えよう。この場合、直交位相振幅を用いるよりもアッパーサイドバンドとロウワーサイドバンドを用いて考えるほうが簡単であり、図\ref{qnanyblock_simplified}のようなブロック図で記述される。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=12cm]{qnanyblock_simplified2.eps}
\caption[共振器でアッパーサイドバンドだけ共振する場合の相互作用]{鏡の運動モードと共振器に入射するTEM$lm$モードの相互作用を表すブロック図を、アッパーとロウワーサイドバンドを用いて簡略化したもの。ここで$\hat{b}^{lm}_\pm:=\hat{b}^{lm}_{\omega_0+\Omega}$である。$\hat{c}^{lm}_\pm$も同様である。高フィネス極限では、共振器内にはアッパーサイドバンドしかないとみなすことができる。}\label{qnanyblock_simplified}
\end{figure}
高フィネス極限では共振器内にはアッパーサイドバンドしかないとみなすことができるためである。このブロック図から、反射光のアッパーサイドバンドへの入射光の揺らぎの寄与は$\left[2/(1-R_n^*)-1\right]\hat{b}^{lm}_+$であることがわかるので、光学機械相互作用のループゲイン$R^*_n=-8Pk_0i\chi^*_nB_{lm,n}^2/cT$が$R^*_n=-1$を満たすとき、反射光のアッパーサイドバンドの揺らぎに入射光の揺らぎの寄与がなくなることがわかる。したがってこのとき、理想的には鏡の運動モードの測定の量子雑音は$0$になりうる。$R^*_n(\Omega_n)=-1\Leftrightarrow\mathcal{R}_n=-1$なので、量子雑音のこの特異な振る舞いにはパラメトリックゲインが重要な役割を果たしている。この際、消えてしまった入射光のアッパーサイドバンドの揺らぎは、鏡の運動モードを表す振動子が接触している熱浴へと散逸する (補遺\ref{thermalbath})。

一方、このブロック図\ref{qnanyblock_simplified}のような状況では式(\ref{reflany})は
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\hat{c}^{lm}_1\\
\hat{c}^{lm}_2\\
\end{bmatrix}
&=\frac{1}{1-R_n^*}\left\{
\begin{bmatrix}
R_n^*&i\\
-i&R_n^*\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{b}^{lm}_1\\
\hat{b}^{lm}_2\\
\end{bmatrix}
+\frac{2Ak_0B_{lm,n}}{\sqrt{T}}
\begin{bmatrix}
i\\
1\\
\end{bmatrix}
C^\dagger_{n,\mathrm{ex}}\right\}
\end{align}
のように簡略化されるため、この式からも$R_n^*=-1$のときに量子雑音が$0$になりうるといった量子雑音の振る舞いが理解できる。またこの式から、反射光のアッパーサイドバンドの揺らぎのパワースペクトル$S_{+}$は
\begin{align}
S_+=\left|\frac{2}{1-R_n^*}-1\right|^2+\left|\frac{2/\sqrt{T}}{1-R_n^*}\right|^2\left(2iAk_0B_{lm,n}/\sqrt{2}\right)^2S_{c_n}
\end{align}
と求めることができる。ここで$S_{c_n}$は鏡の運動モードの変位のパワースペクトルである。特に鏡の運動モードが基底状態にあるとき、$S_{c_n}$は補遺\ref{thermalbath}より式(\ref{zpfpower})であるから、
\begin{align}
S_+(\Omega/2\pi)&=\frac{1}{|1-R_n^*|^2}\left[|1+R_n^*|^2+\frac{4|R_n|^2}{|\mathcal{R}_n|}\right]\\
&=\begin{cases}
1\qquad(\mathcal{R}_n<0)\\
1+\frac{8}{|1-R_n^*|^2}\frac{|R_n|^2}{|\mathcal{R}_n|}\qquad(\mathcal{R}_n>0)
\end{cases}
\end{align}
となる。ここで$\Gamma=\Omega_n/Q$であり、$|\Omega-\Omega_n|\ll\Omega_n$とした。このようにして、図\ref{qnanysq}の青線の振る舞いを理解することができる。

最後に、実際に$[\hat{c}^{lm}_1+i\hat{c}^{lm}_2]/\sqrt{2}$という成分を測定する方法について議論する。$[\hat{c}^{lm}_1(\Omega)+i\hat{c}^{lm}_2(\Omega)]/\sqrt{2}=\hat{c}_{\omega_0+\Omega}$であるから、$E^{(-)}_\mathrm{LO}\propto\mathrm{e}^{i(\omega_0+\Omega)t}$と表されるLOと干渉させてパワーを測定することを考える。すると、パワーのDC成分から$[\hat{c}_{\omega_0+\Omega}+\hat{c}^\dagger_{\omega_0+\Omega}]/\sqrt{2}$という量が測定できることがわかる。また同様に$E^{(-)}_\mathrm{LO}\propto i\mathrm{e}^{i(\omega_0+\Omega)t}$と表されるLOと干渉させてパワーを測定することを考えると、パワーのDC成分から$[-i\hat{c}_{\omega_0+\Omega}+i\hat{c}^\dagger_{\omega_0+\Omega}]/\sqrt{2}$という量が測定できることがわかる。これらの量の測定を通じて、鏡の運動モードの変位のそれぞれ$\cos\Omega t$成分または$\sin\Omega t$成分を測定することができる。

%外力測定についての話もする！！！！！！！！！！！！！\cite{Khalili2012} も絡めて
以上より鏡の運動モードの測定の量子雑音を0にすることが可能であることがわかったが、鏡の運動モードに作用する外力の測定の雑音を0にすることはこの方法ではできない。なぜなら、運動モードの量子揺らぎ自体が外力の測定に対する雑音となってしまうからである。このことは、文献 \cite{Khalili2012} の式(72)付近の議論と一致している。


%実際にはupper sideband自体を測定できないという話もするべき



\end{document}










