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\begin{document}
\chapter{干渉計型重力波検出器}\label{ifo}\thispagestyle{chapheadings}
干渉計型重力波検出器では、レーザー光を光源とする干渉計を構成する。重力波の到来で干渉計の鏡の位置が変化することによる干渉の変化を捉え、重力波を検出するのである。この章では、干渉計型重力波検出器の基本原理、主な雑音源とその低減のための工夫、Advanced LIGO、Advanved Virgo、KAGRAなどで用いられる先進的な干渉計構成について述べる。
\section{基本原理}\label{basic}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{MI.eps}
\caption[Michelson干渉計]{Michelson干渉計の模式図。}\label{MI}
\end{figure}
図\ref{MI}のようなMichelson干渉計に$+z$方向から$+$モードの重力波$h(t)$が到来することを考えよう。鏡は注目する重力波に対して自由に動くとする。ビームスプリッター (BS) は50:50のBSであるとする。重力波が存在しないときのBSと$x$および$y$方向の鏡の距離を$L_x,\,L_y$とし、$L=(L_x+L_y)/2$とする。式(\ref{ds})より、
\begin{equation}
\frac{dx}{dt}\simeq\pm c\left(1-\frac{1}{2}h(t)\right)
\end{equation}
となるから、$x$方向の鏡に反射して往復するのにかかる時間$T_x(t)$は
\begin{align}
T_x(t)&=\int \left(\frac{dx}{dt}\right)^{-1}dx\\
&=\frac{2L_x}{c}+\frac{1}{2}\int^t_{t-2L/c}h(t')dt'
\end{align}
となる\footnote{通常$|L_x-L_y|/L\ll1$であるため、積分範囲を$L_x$でなく$L$を用いて表した。}。同様に$y$方向の往復にかかる時間$T_y(t)$は
\begin{align}
T_y(t)&=\frac{2L_y}{c}-\frac{1}{2}\int^t_{t-2L/c}h(t')dt'.
\end{align}
したがって、BSに入射する電場が$E_\mathrm{in}(t)=E_0\mathrm{e}^{i\omega_0t}$のとき、光検出器のところでの電場$E_\mathrm{out}(t)$は、
\begin{align}
E_\mathrm{out}(t)&=\frac{1}{2}\left[E_\mathrm{in}(t-T_x(t))-E_\mathrm{in}(t-T_y(t))\right]\\
&=\frac{1}{2}E_0\mathrm{e}^{i\omega_0(t-T_x(t))}\left[1-\mathrm{e}^{i(\phi+\phi_\mathrm{GW}(t))}\right],\\
\phi&=\frac{2\omega_0(L_x-L_y)}{c},\\
\phi_\mathrm{GW}(t)&=\omega_0\int^t_{t-2L/c}h(t')dt'
\end{align}
となる。光検出器のところでの光のパワー$P_\mathrm{out}(t)$は、
\begin{equation}
P_\mathrm{out}(t)=P_0\sin^2\frac{\phi+\phi_\mathrm{GW}(t)}{2}
\end{equation}
となる。ここで$P_0$は干渉計に入射する光のパワーである。これらの式から、干渉した光が重力波や腕の長さの差動変動によって変化することがわかる。具体的には、たとえば$\phi=\pi/2$になるように制御した場合、
\begin{equation}
P_\mathrm{out}(t)\simeq\frac{P_0}{2}+\frac{P_0}{2}\phi_\mathrm{GW}(t)\label{mid}
\end{equation}
という光のパワーになり、光のパワーから重力波の線型信号が得られる。

$\phi_\mathrm{GW}$の性質をみるために、$\phi_\mathrm{GW}(t)=\int_{-\infty}^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}\phi_\mathrm{GW}(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega t}$とFourier分解してみよう。すると、
\begin{align}
\phi_\mathrm{GW}(\Omega)&=\frac{2\omega_0L}{c}\frac{\sin(\Omega L/c)}{\Omega L/c}h(\Omega)\mathrm{e}^{-i\Omega L/c},\\
h(t)&=\int_{-\infty}^\infty\frac{d\Omega}{2\pi}h(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega t}
\end{align}
のように表されることがわかる。この式により、$\Omega L/c\ll1$の範囲では、
\begin{equation}
\phi_\mathrm{GW}(\Omega)=2\frac{2\omega_0}{c}\frac{1}{2}Lh(\Omega)
\end{equation}
より重力波の信号は$L$に比例することがわかる。つまり、干渉計の腕の長さを長くすることで重力波に対する感度を向上させることができるということである。また重力波の影響は、$x$方向の鏡を$+Lh/2$だけ変位し$y$方向の鏡を$-Lh/2$だけ変位するということと$\Omega L/c\ll1$の範囲では同じであることもわかる。ここでは$+$モードの重力波が$+z$方向から到来した場合を扱ったが、測定しているのは$h_{11}-h_{22}$なので、$h=(h_{11}-h_{22})/2$とすれば他の到来方向や偏光の場合も同様に扱える。

\section{雑音源とその対策}
この節では、干渉計型重力波検出器の主な雑音源とその対策の概要について述べる。
\subsection{地面振動雑音}
重力波検出器の鏡は重力波に対して自由に運動するのが理想であるが、地球上でそれを実現するのは困難である。そこで実際には、鏡を振り子として懸架することで振り子の共振周波数より高い周波数の重力波に対して自由に運動できるようにする方法をとる。
鏡は振り子として懸架されるため、懸架系を通じて地面の揺れが鏡に伝わり鏡が振動してしまう。これが地面振動雑音である。

地面振動雑音の対策は第一に、鏡を多段振り子として懸架することである。単純な振り子では懸架点の変位$X$から振り子の変位$Y$までの伝達関数は$Y/X\simeq(f/f_0)^{-2}$ ($f_0$は共振周波数) なので、共振周波数以上では$(f/f_0)^{-2}$の防振効果が得られる。さらに、振り子構造を$n$段にすることで地面振動による鏡の揺れは$(f/f_0)^{-2n}$だけ低減させることができる。

KAGRAでは、地面振動雑音対策のため検出器を地下のトンネル内に建設している \cite{Somiya2012}。地下のほうが地上よりも地面振動自体が小さいためである。

地面振動雑音は、地面振動自体が低周波で大きいこと、低周波で防振効果をえることが難しいことから、$\lesssim10\,\mathrm{Hz}$という低周波数帯域で感度を制限する雑音となる。

\subsection{熱雑音}
熱雑音とは、鏡やその懸架系が有限の温度をもっているために、鏡の反射面や重心が熱的に振動してしまう雑音である。熱振動のパワースペクトル$S_x(f)$は、揺動散逸定理 \cite{Callen1951} によりつぎのように表される。
\begin{equation}
S_x(f)=-\frac{4k_\mathrm{B}T}{(2\pi f)}\mathrm{Im}[H(2\pi f)].\label{FDT}
\end{equation}
ここで、$k_\mathrm{B}$はBoltzmann定数、$T$は系が接する熱浴の温度、$H$は系が受ける外力から変位までの伝達関数、$f$は周波数である。なお、パワースペクトルの定義は補遺\ref{spectrum}を参照。熱雑音の表式の具体例として、伝達関数
\begin{equation}
H(2\pi f)=\frac{1}{m(2\pi)^2[f_0^2(1+i\phi(f))-f^2]}
\end{equation}
で表される振動子の熱振動の熱振動のパワースペクトルは、
\begin{equation}
S_x(f)=-\frac{4k_\mathrm{B}T}{m(2\pi)^3f}\frac{f_0^2\phi(f)}{(f^2-f_0^2)^2+f_0^4\phi^2(f)}\label{loss}
\end{equation}
となる。この式より、$f\ll f_0$または$f\gg f_0$では$\phi(f)$が小さいほど熱振動が小さいことがわかる。$\phi(f)$はロスと呼ばれ、振動子のエネルギー損失を特徴づける。

式(\ref{loss})より、熱雑音の低減のためには鏡や鏡を吊る振り子のロスを小さくする必要がある。実際、Advanced LIGOでは鏡と最終段の振り子はモノリシックな溶融石英を採用しており \cite{Aasi2015}、KAGRAでは鏡と最終段の振り子にはサファイアを用いる \cite{Somiya2012} ことで熱雑音の低減を図っている。
また式(\ref{FDT})から明らかなように、鏡の温度を下げることも確実な熱雑音低減の手法である \cite{Uchiyama2012}。KAGRAは、鏡の温度を$20\,\mathrm{K}$まで下げることで熱雑音を低減する \cite{Somiya2012}。

熱雑音は、検出器の感度が最も良い$\sim100\,\mathrm{Hz}$付近で感度に影響を与える \cite{Aasi2015,Acernese2015,Somiya2012}。

\subsection{量子雑音}
干渉計型重力波検出器ではレーザー光の干渉を用いるが、電磁場の量子揺らぎに起因する雑音が量子雑音である。単純な干渉計の構成の場合\footnote{シグナルリサインクリング共振器の離調、スクイーズされた真空の入射、ホモダイン検波によるbackaction evasionなどといった量子非破壊測定を行わない場合。}、量子雑音は散射雑音と輻射圧雑音の2種類に分けることができる。

散射雑音は、光検出の際の光子数の揺らぎによるセンシング雑音である。式(\ref{mid})も示しているように検出器の出力に現れる重力波の信号の量は干渉計への入射光のパワー$P_0$に比例し、光検出器の際の光子数の量子揺らぎは$\sqrt{P_0}$に比例するため、重力波信号$h$へと換算した散射雑音は$1/\sqrt{P_0}$に比例する。したがって、干渉計へ入る光のパワー$P_0$を大きくすることで散射雑音を改善することができる。散射雑音は、$\gtrsim100\,\mathrm{Hz}$の高周波帯で感度を制限する \cite{Aasi2015,Acernese2015,Somiya2012}。

輻射圧雑音は、光が鏡に反射する際に光のパワー、すなわち輻射圧が量子的に揺らぐことで鏡を振動させてしまうという雑音である。鏡に与える力の量子揺らぎは$\sqrt{P_0}$に比例するため、輻射圧雑音は$\sqrt{P_0}/mf^2$に比例する。ここで、自由質点とみなせる鏡の外力に対する応答の伝達関数が、$m$を質量としたときに$-1/m(2\pi f)^2$であることを用いた。したがって、$P_0$を小さくすること、鏡の質量$m$を大きくすることで輻射圧雑音を低減することができる。輻射圧雑音は、数$10\,\mathrm{Hz}$帯で感度を制限することが予定されている \cite{Aasi2015,Acernese2015,Somiya2012}。

以上の議論からもわかるように、散射雑音と輻射圧雑音は光のパワーに対して反対の依存性を持ち、両者はトレードオフの関係にある。このトレードオフの関係によって定まる量子雑音のレベルを標準量子限界 (SQL) と呼ぶ \cite{Braginsky1995}。まとめると、量子雑音の低減のためには、高いパワーのレーザーで散射雑音を下げ、質量の大きな鏡で輻射圧雑音を下げ、さらにはSQLを超えるような量子非破壊計測を用いる必要があることがわかる。量子雑音については\ref{quantumnoise}節でさらに詳しく述べる。


\section{干渉計の構成}\label{sec:config}
\ref{basic}節では干渉計型重力波検出器の基本原理を単純なMichelson干渉計で説明したが、実際に検出器で用いられる干渉計の構成はもっと複雑である。ここではAdvanced LIGO、Advanced Virgo、KAGRAで用いられる干渉計の要素について述べる。%各構成がわかる図をいれる？
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{config.eps}
\caption[実際の干渉計の構成の模式図]{実際の干渉計型重力波検出器の構成の模式図。FPMIはFabry--Perot Michelson干渉計、PRCはPR共振器、SECはSE共振器を表す。}\label{config}
\end{figure}
\subsection{Fabry--Perot Michelson干渉計}
\ref{basic}節の終わりに、Michelson干渉計の腕の長さを長くすることで感度を向上させられることを述べたが、実効的な腕の長さを長くするために両腕をFabry--Perot共振器にするのがFabry--Perot Michelson干渉計である (図\ref{config})。共振器の鏡の間を光が何度も往復し長い距離を伝播するのである。なお、Fabry--Perot共振器については補遺\ref{FP}を参照。またFabry--Perot共振器においては光の入射側の鏡をinput test mass (ITM)、もう一方の鏡をend test mass (ETM) と呼ぶことに触れておく。平均往復回数はフィネス (補遺\ref{FP}) に比例し、散射雑音はフィネスに比例して改善する (図\ref{shot_noise})。反対に、輻射圧雑音はフィネスに比例して悪化する。また同様に光の平均滞在時間$\tau$もフィネスに比例する。周波数が$\gtrsim1/\tau$の信号では共振器内での信号の相殺が始まるため、検出器の帯域はフィネスに反比例する。散射雑音の改善と腕共振器内での信号の相殺を考慮すると、高周波帯での散射雑音は腕の共振器のフィネスを変えても変化しないことに注意する必要がある (図\ref{shot_noise})。

腕の共振器はレーザー光が最も増幅される部分であり、Advanced LIGOでは腕の共振器の中に貯まる光のパワーは最大$800\,\mathrm{kW}$にもなることが予定されている \cite{Evans2015}。

\subsection{パワーリサイクリング共振器}
(Fabry--Perot) Michelson干渉計の入射側ではない方のポートに光が来ないように制御した場合、ほぼ全ての光は入射側へと反射される。入射側ではないポートをAnti-symmetric (AS) ポートと呼ぶ。そこで入射側に鏡 (power recycling mirror; PRM) を置くことでMichelson干渉計から返ってきた光を打ち返すというのがpower recycling (PR) である。ここでPRMとMichelson干渉計が共振器を構成していると解釈することができ、この共振器をPR共振器と呼ぶ (図\ref{config})。PRでは、BSのところでの光のパワーをPR共振器によって増幅することができ、実効的なパワーを上げることで散射雑音を改善することができる (図\ref{shot_noise})。

\subsection{シグナルエクストラクション共振器\protect\footnote{歴史的な事情から、signal extraction共振器はsignal recycling共振器、signal extraction mirrorはsignal recycling mirrorとそれぞれ呼ばれることが多い。}}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=9.cm]{shot_noise_finesse2.eps}
\caption[干渉計の構成と散射雑音の変化]{干渉計の構成によって散射雑音のノイズスペクトルがどのように変化するかを表した模式図。太線を基準として、腕共振器のフィネスを$N$倍または$1/N$倍にした場合 (黒線)、PRによって実効的なパワーを$N$倍にした場合(赤線)、RSEによって帯域を$N$倍にした場合 (青線) の散射雑音のスペクトルを示した。腕共振器のフィネスを$N$倍にしてさらにRSEを用いると青点線のようになる。}\label{shot_noise}
\end{figure}
ASポートが暗くなるように制御した場合、入射側から入った電磁場は入射側へ反射され、ASポートから入った電磁場はASポートへ反射される。また、両腕の長さの同相変動の信号は入射側のポートに現れ、差動変動の信号はASポートへ現れる。したがって、ASポートに新たに鏡 (signal extraction mirror; SEM) を置いた場合、干渉計に入射されるレーザー光には影響を与えずに差動変動の信号にのみ影響を与えることができる。ここで、Fabry--Perot共振器のITM2つとBSとSEMからなる共振器 (signal extraction共振器; SE共振器、図\ref{config}) が共振状態であるように制御すると、差動信号にとって腕共振器のフィネスを低下させることができる。ここで、SEMの導入によって腕共振器の中のレーザー光の量は変わらないので、腕共振器内に生成される重力波信号は変わらないことに注意する。その結果、低周波帯での散射雑音の悪化と引き換えに検出器の帯域を広げ、高周波帯での散射雑音を改善することができる (図\ref{shot_noise})。この方法がresonant sideband extraction (RSE) である。散射雑音が高周波帯で感度を制限することを思い出すと、RSEが検出器の感度向上に有用であることがわかる。RSEの特長をみるために次のようなことを考える。図\ref{shot_noise}からわかるように、PRの利用や高パワー光源の利用で実効的なパワーを$N$倍上げた場合と、腕共振器のフィネスを$N$倍にした上でRSEで帯域を$N$倍にした場合は同じ散射雑音を与える。しかし、RSEを利用した場合にはBSでのパワーは$N$倍小さくて済む。BSを大きなパワーの光が通過すると熱レンズ効果といった技術的困難をもたらすこと、大きなPRのゲインを得ることはそもそも難しいこと、という点からPRに加えてRSEを併せて用いることが有用なのである。



\end{document}