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\begin{document}
\chapter{重力波}\label{gw}\thispagestyle{chapheadings}
重力波は一般相対性理論の枠組みの中で初めて導かれた \cite{Einstein1916,Einstein1918}。この章では一般相対性理論における、重力波の導出、重力波の存在する時空中での質点の運動、重力波の放射と発生源について記述する。

\section{重力波の導出}
一般相対性理論では時空を4次元の多様体と考え、十分近い2点$x^\mu$と$x^\mu+dx^\mu$のあいだの「距離」\footnote{$ds^2$は負にもなり得るため、ここでは「」をつけて表現した。}$ds$が
\begin{equation}
ds^2=g_{\mu\nu}(x)dx^\mu dx^\nu\label{ds}
\end{equation}
と表せると仮定する。これ以降Einsteinの縮約記法を用いることとし、ギリシャ文字の添字は$0\text{ -- }3$の値をとることとする。$g_{\mu\nu}(x)$は計量テンソルという。一般相対性理論では、計量テンソル$g_{\mu\nu}(x)$が時空の幾何、すなわち重力を完全に特徴付ける。

計量テンソルは以下のEinstein方程式に従う:
\begin{equation}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.\label{EQ}
\end{equation}
$c$は光の速さ、$G$は万有引力定数である。ここで$R_{\mu\nu}$はRicciテンソルと呼ばれ、次のように定義される:
\begin{align}
R_{\mu\nu}&:=\tensor{R}{_\mu_\alpha_\nu^\alpha},\\
\tensor{R}{_\alpha_\beta_\gamma^\delta}&:=-\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\tensor{\varGamma}{^\delta_\beta_\gamma}+\frac{\partial}{\partial x^\beta}\tensor{\varGamma}{^\delta_\alpha_\gamma}-\tensor{\varGamma}{^\delta_\alpha_\mu}\tensor{\varGamma}{^\mu_\beta_\gamma}+\tensor{\varGamma}{^\delta_\beta_\mu}\tensor{\varGamma}{^\mu_\alpha_\gamma},\\
\tensor{\varGamma}{^\gamma_\alpha_\beta}&:=\frac{1}{2}g^{\gamma\delta}\left(\frac{\partial}{\partial x^\alpha}g_{\beta\delta}+\frac{\partial}{\partial x^\beta}g_{\alpha\delta}-\frac{\partial}{\partial x^\delta}g_{\alpha\beta}\right).
\end{align}
ここで、$\tensor{R}{_\alpha_\beta_\gamma^\delta}$はRiemann曲率テンソル、$\tensor{\varGamma}{^\gamma_\alpha_\beta}$は接続係数またはChristoffel記号と呼ばれる。また、式(\ref{EQ})における$T_{\mu\nu}$はエネルギー運動量テンソルである。

重力の存在しないMinkowski空間では$g_{\mu\nu}(x)=\eta_{\mu\nu}:=\mathrm{diag}[-1,1,1,1]$とすることができるが、Einstein方程式を$\eta_{\mu\nu}$からのずれ$h_{\mu\nu}(x):=g_{\mu\nu}(x)-\eta_{\mu\nu}$で展開することを考える。重力が十分弱く$h$が十分小さいとし、式(\ref{EQ})において$h$の1次まで考えることとすると、
\begin{align}
-&\eta^{\mu\nu}\frac{\partial^2 \bar{h}_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu\partial x^\nu}-\eta_{\alpha\beta}\frac{\partial^2 \bar{h}^{\mu\nu}}{\partial x^\mu\partial x^\nu}+\frac{\partial^2 \bar{h}^\mu_{\beta}}{\partial x^\alpha\partial x^\mu}+\frac{\partial^2 \bar{h}^\mu_{\alpha}}{\partial x^\beta\partial x^\mu}=\frac{16\pi G}{c^4}T_{\alpha\beta},\label{LQE}\\
&\bar{h}_{\alpha\beta}:=h_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}
\end{align}
となる。微小な座標変換を行うことでLorenzゲージ条件
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x^\mu}\bar{h}^{\mu\nu}=0
\end{equation}
を満たす座標系に移ることが必ずできることが知られているため \cite{Creighton2012}、以降Lorenzゲージ条件を課すことにすると、式(\ref{LQE})は
\begin{equation}
-\Box\bar{h}_{\alpha\beta}:=-\eta^{\mu\nu}\frac{\partial^2 \bar{h}_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu\partial x^\nu}=\frac{16\pi G}{c^4}T_{\alpha\beta}\label{LQE2}
\end{equation}
と変形される。この式により、計量テンソルの$\eta$からのずれ$h$が源$T$から発生し波として伝播すること、すなわち重力波が存在することがわかる。

重力波の伝播を考えるため、真空中($T_{\alpha\beta}=0$)で式(\ref{LQE2})を考えることにする:
\begin{equation}
\Box\bar{h}_{\alpha\beta}=0.\label{LQE3}
\end{equation}
また、Lorenzゲージ条件を満たしたまま次のトランスバース--トレースレス (transverse traceless; TT) ゲージ条件を満たす様な座標を採用することができる\footnote{ラテン文字は1--3の値をとるとする。} \cite{Maggiore2008}:
\begin{align}
h_{0\alpha}&=0,\\
h^j_k&=0,\\
\frac{\partial h^{jk}}{\partial x^j}&=0.
\end{align}
ここでTTゲージでは$\eta^{\alpha\beta}h_{\alpha\beta}=0$であるため、$h_{\alpha\beta}=\bar{h}_{\alpha\beta}$である。以降TTゲージを採用することとし、$h_{\alpha\beta}$と$\bar{h}_{\alpha\beta}$は区別しなくて良い。$x^\mu=[ct,\,x,\,y,\,z]$とおき、重力波$h_{\alpha\beta}$が$+z$方向に伝播するとすると、波動方程式(\ref{LQE3})の解の成分$h_{\alpha\beta}$は、独立な2つの関数$h_+(t)$と$h_\times(t)$を用いて
\begin{equation}
h_{\alpha\beta}=
\begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&h_+(t-\frac{z}{c})&h_\times(t-\frac{z}{c})&0\\
0&h_\times(t-\frac{z}{c})&-h_+(t-\frac{z}{c})&0\\
0&0&0&0
\end{bmatrix}\label{hTT}
\end{equation}
と表される。ここで、$h_+(t)$と$h_\times(t)$のそれぞれに対応するモードをプラス (+) モードとクロス (×) モードという。以上より、一般相対性理論における重力波は光の速さで伝播し、2つの独立なモードをもつことがわかった。

\section{自由質点の運動}
重力波によって実際にどのような効果が現れるのかを確かめるため、重力波の存在下での自由質点の運動を考えることにする。一般相対性理論では自由質点の軌跡は時空の測地線となる。つまり、質点の軌跡を$x^\mu(\tau)$と表すと$x^\mu(\tau)$は測地線方程式
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\tensor{\varGamma}{^\mu_\alpha_\beta}(x(\tau))\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}=0\label{geo}
\end{equation}
を満たす。$\tau$は質点の軌跡に付されたパラメータである。

以下、TTゲージを考え$\tau$として時刻$t$を採用することを考える。すると、$x^\mu(t)=[ct,\,\bm{X}]$が式(\ref{geo})を満たすことがわかる。つまり、TTゲージで見た場合、重力波の存在下でも一定の空間座標に留まり続ける自由質点を配置することができるのである。そこで、$xy$平面上にある自由質点$x^\mu(t;\theta)=[ct,\,R\cos\theta,\,R\sin\theta,\,0]$と原点にある自由質点の空間的距離が、$z$方向に伝播する+モードの重力波$h_+(t)=h_p\cos{\Omega t},\,h_\times(t)=0$によってどのように変化するかを考える。質点間の距離は、
\begin{align}
\sqrt{g_{jk}x_j(t;\theta)x_k(t;\theta)}&=R\sqrt{1+h_p\cos2\theta\cos\Omega t}\\
&=R\left(1+\frac{1}{2}h_p\cos2\theta\cos\Omega t\right)\label{plus_motion}
\end{align}
と表せる。ここで、式変形では$h_p$の2次以降は無視した。この式(\ref{plus_motion})により、+モードの重力波によって質点が図\ref{motion}上のように動くことがわかる。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{motion.eps}
\caption[重力波による質点の潮汐的運動の模式図]{$z$方向に伝播する重力波が到来したときの$xy$平面上の自由質点の運動の模式図。質点が潮汐的に運動することがわかる。}\label{motion}
\end{figure}
$z$方向に伝播する×モードの重力波$h_+(t)=0\,,h_\times(t)=h_c\cos{\Omega t}$でも同様であり、
\begin{align}
\sqrt{g_{jk}x_j(t;\theta)x_k(t;\theta)}=R\left(1+\frac{1}{2}h_c\sin2\theta\cos\Omega t\right)\label{cross_motion}
\end{align}
となり、×モードの重力波によって質点が図\ref{motion}下のように動くこともわかる。図\ref{motion}のような潮汐的な質点の運動を捉えることで、重力波を検出することができる。

\section{重力波の放射}
式(\ref{LQE2})より重力波がどのように放射されるかを導き、具体的にどのような現象が重力波源の候補として考えられるかについて述べる。
\subsection{4重極公式}
エネルギー運動量が局在している重力波源から放射される重力波を考える。式(\ref{LQE2})を形式的に解くと、
\begin{equation}
\bar{h}^{\alpha\beta}(t,\bm{x})=\frac{4G}{c^4}\int\frac{T^{\alpha\beta}(t-\left|\bm{x}-\bm{x'}\right|/c,\bm{x'})}{\left|\bm{x}-\bm{x'}\right|}d^3\bm{x'}\label{green}
\end{equation}
を得る。ここで、波源の典型的な速さが光速より十分小さく、重力波の波長よりも十分大きな距離だけ離れたところからみるとすると、式(\ref{green})は次のように近似できる:
\begin{equation}
\bar{h}^{\alpha\beta}(t,\bm{x})\simeq\frac{4G}{c^4r}\int T^{\alpha\beta}(t-r/c,\bm{x'})d^3\bm{x'}.\label{quad1}
\end{equation}
ここで、$r$は観測地点から波源までの距離である。Lorenzゲージ条件から従う$\partial T^{\mu\nu}/\partial x^{\mu}=0$\footnote{$h$のオーダーでは正しい。エネルギー運動量保存に対応する。}より、4重極公式
\begin{equation}
\bar{h}^{jk}(t,\bm{x})\simeq\frac{2G}{c^4r}\ddot{I}^{jk}(t-r/c)\label{quad2}
\end{equation}
を得る \cite{Creighton2012}。ここで、
\begin{equation}
I^{jk}(t)=\int x^jx^kT^{00}(t,\bm{x})d^3\bm{x}.
\end{equation}
また、TTゲージでは
\begin{align}
\bar{h}_{jk}^\mathrm{TT}(t,\bm{x})&\simeq\frac{2G}{c^4r}\ddot{I}_{jk}^\mathrm{TT}(t-r/c),\label{quad3}\\
I_{jk}^\mathrm{TT}&=P_{jl}I_{lm}P_{mk}-\frac{1}{2}P_{jk}P_{lm}I_{lm},\\
P_{jk}&=\delta_{jk}-\hat{n}_j\hat{n}_k
\end{align}
と書ける。ここで、$\hat{\bm{n}}$は波源と観測地点を結ぶ方向の単位ベクトルである。以上より、重力波の放射が最低次では4重極放射であることがわかる。したがって、重力波は波源の非軸対称な運動から放射される。

\subsection{重力波源とその候補}
地球上の干渉計型重力波検出器の標的として考えられる主な重力波源を挙げる。
\subsubsection{コンパクト連星合体}
Advanced LIGOによる重力波の初検出は、$400\,\mathrm{Mpc}$程度離れた場所にあった30太陽質量程度のブラックホール (black hole; BH) 2つからなる連星の合体からの重力波を捉えたものであった \cite{Abbott2016}。BH-BH連星合体だけではなく、BHと中性子星 (neutron star; NS) からなるNS-BH連星合体やNS2つからなるNS-NS連星合体も有力な重力波源として考えられている \cite{Belczynski2002}。典型的な最大振幅は$h\sim10^{-21}$と考えられており \cite{Saulson1994}、合体直前の重力波の周波数は$f\sim4.4\,\mathrm{kHz}\times(M_\odot/M)$で与えられる \cite{Sathyaprakash2009}。ここで、$M_\odot$は太陽質量、$M$は連星の合計質量である。Advanced LIGO、Advanced VirgoやKAGRAといった検出器では、年間数イベントから数100イベントが期待されている \cite{LSC2010}。
\subsubsection{超新星爆発}
超新星爆発の際のコアの崩壊から発生する重力波も、地球上の検出器で検出可能であると考えられている。コアの崩壊に非球対称性があれば重力波を発生する。$10\,\mathrm{kpc}$離れた場所での振幅は$h\sim10^{-22}\text{--}10^{-21}$、典型的な周波数は$f\sim1\,\mathrm{kHz}$程度と考えられている 
\cite{Ott2009}。
\subsubsection{中性子星の自転}
回転する中性子星の形状に非軸対称性が存在すれば、重力波の発生源となる。放射される重力波の周波数は中性子星の回転周波数の2倍であるため、ミリ秒パルサーと呼ばれる速く回転する中性子星からの重力波の周波数は地球上の干渉計型重力波検出器の観測周波数帯の中であり、ミリ秒パルサーなどは波源の候補となる。これまで、中性子星の非軸対称性を表す楕円度$\varepsilon$に上限値をつけており、例えばCrabパルサーに対して$\varepsilon\lesssim10^{-4}$という制限をつけている \cite{Aasi2014}。



\end{document}