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\begin{document}
\chapter{パワースペクトル}\label{spectrum}\thispagestyle{chapheadings}
パワースペクトルとは、時間的に変化する物理量の揺らぎを周波数ごとに分解したものである。メートル $[\mathrm{m}]$ で表される物理量のパワースペクトルならば $[\mathrm{m^2/Hz}]$ の単位で表される。また重力波の分野では、パワースペクトルの平方根を取った量が周波数ごとの揺らぎや雑音を表すのによく用いられ、こちらは $[\mathrm{m/\sqrt{Hz}}]$ の単位をもつ。

物理量$x(t)$のパワースペクトルを考えよう\footnote{$x(t)$は古典的でも量子的でもいい。}。$x$は定常的であり、また平均値は$0$であるとする。有限時間のFourier変換
\begin{equation}
x_T(\Omega)=\int_{-T/2}^{T/2}dt\,x(t)\mathrm{e}^{-i\Omega t}
\end{equation}
を考えたとき、
\begin{equation}
S_x(f):=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\left\langle x_T^\dagger(2\pi f)x_T(2\pi f)+x_T(2\pi f)x_T^\dagger(2\pi f)\right\rangle
\end{equation}
で定義される$S_x$を(片側)パワースペクトル密度という\footnote{両側パワースペクトル密度は片側の$1/2$である。その分、周波数で積分して分散を求める際には負の周波数側も積分する必要がある。重力波の分野では片側パワースペクトル密度が用いられている。}。ここで、$\langle\cdot\rangle$は揺らぎのアンサンブル平均を表す。パワースペクトル密度は、次式で定義される自己相関関数$C_x(\tau)$とFourier変換で移り合う関係にある \cite{Hino1977}。
\begin{align}
C_x(\tau)&=\frac{1}{2}\langle x(t)x(t+\tau)+x(t+\tau)x(t)\rangle,\\
S_x(f)&=2\int_{-\infty}^\infty d\tau\,C_x(\tau)\mathrm{e}^{-2\pi if\tau},\\
C_x(\tau)&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty df\,S_x(f)\mathrm{e}^{2\pi if\tau}=\int_0^\infty df\,S_x(f)\cos(2\pi f\tau).
\end{align}
自己相関関数の$\tau=0$の場合は$x$の分散$\langle x^2(t)\rangle$になるため、分散はパワースペクトル密度$S_x$を用いて、
\begin{equation}
\langle x^2(t)\rangle=\int_0^\infty df\,S_x(f)
\end{equation}
と表すことができる。この式により、ある周波数帯域での物理量の分散への寄与をパワースペクトル密度が表している、ということがわかる。

同様に、物理量$x(t)$と$y(t)$のクロススペクトル密度$S_{xy}$が次のように定義できる。
\begin{equation}
S_{xy}(f):=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\left\langle x_T^\dagger(2\pi f)y_T(2\pi f)+y_T(2\pi f)x_T^\dagger(2\pi f)\right\rangle.\label{crossdef}
\end{equation}
$S_x=S_{xx}$であり、パワースペクトルはクロススペクトルの特別な場合である。パワースペクトルのときと同様に相互相関関数$C_{xy}(\tau)$を定義すると、クロススペクトル密度と相互相関関数はFourier変換で移り合う \cite{Hino1977}。
\begin{align}
C_{xy}(\tau)&=\frac{1}{2}\langle x(t)y(t+\tau)+y(t+\tau)x(t)\rangle,\\
S_{xy}(f)&=2\int_{-\infty}^\infty d\tau\,C_{xy}(\tau)\mathrm{e}^{-2\pi if\tau},\\
C_{xy}(\tau)&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty df\,S_{xy}(f)\mathrm{e}^{2\pi if\tau}=\int_0^\infty df\,S_{xy}(f)\cos(2\pi f\tau).
\end{align}
クロススペクトルは、2つの物理量の間の周波数ごとの相関を表していることがわかる。また、
\begin{align}
S_{xy}(f)&=S^*_{yx}(f),\\
C_{xy}(\tau)&=C_{yx}(-\tau)
\end{align}
の関係を満たす。式(\ref{crossdef})は形式的に
\begin{equation}
\delta(f-f')S_{xy}(f)=\left\langle x^\dagger(2\pi f)y(2\pi f')+y(2\pi f')x^\dagger(2\pi f)\right\rangle\label{crossformal}
\end{equation}
と書き表せる。ここで
\begin{equation}
x(\Omega):=\lim_{T\rightarrow\infty}x_T(\Omega)
\end{equation}
である。

\end{document}



