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\begin{document}
\chapter{QPDでの測定の量子雑音}\label{QPD}\thispagestyle{chapheadings}
$z=Z$にある鏡で反射された式(\ref{reflectedfield})のように表される光を$z=Z_\mathrm{meas}$に置かれたQPDで測定することで鏡の回転運動を測定した場合の量子雑音の表式を導く。
\section{量子雑音の表式}\label{3}
QPDで測定するのは右のセクションと左のセクションのパワーの差なので、QPDの出力は、$\hat{c}_1^{lm}(Z_\mathrm{meas})$や$w(Z_\mathrm{meas})$を$\hat{c}_1^{lm}$や$w$と略記すると、
\begin{align}
&\quad(\mathrm{QPD})\nonumber\\
&=\frac{c}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty dx\int_{-\infty}^\infty dy \,\,\mathrm{sgn}(x)\cdot|\hat{E}|^2\nonumber\\
&=\frac{c}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty dx\int_{-\infty}^\infty dy \,\,\mathrm{sgn}(x)\cdot\frac{4\pi\hbar\omega_0}{c}\frac{1}{2}\left(A^2u_{00}^2+2Au_{00}\sum_{l,m=0}^\infty \hat{c}_1^{lm}u_{lm}\right)\nonumber\\
&=\hbar\omega_0A\sum_{l,m=0}^\infty\hat{c}_1^{lm}\int_{-\infty}^\infty dx\,\,\mathrm{sgn}(x)\int_{-\infty}^\infty dy\frac{2}{\pi w^2}\frac{H_l(\sqrt{2}x/w)H_m(\sqrt{2}y/w)}{\sqrt{2^ll!2^mm!}}e^{-\frac{2(x^2+y^2)}{w^2}}\nonumber\\
&=\frac{\hbar\omega_0A}{\pi}\sum_{l,m=0}^\infty\frac{\hat{c}_1^{lm}}{\sqrt{2^ll!2^mm!}}\int_{-\infty}^\infty dx\,\,\mathrm{sgn}(x)H_l(x)e^{-x^2}\int_{-\infty}^\infty dy\,\,H_m(y)e^{-y^2}\nonumber\\
&=\hbar\omega_0A\sum_{l=0}^\infty\frac{\hat{c}_1^{l0}}{\sqrt{\pi2^ll!}}\int_0^\infty dx\,\,(1-(-1)^l)H_l(x)e^{-x^2}\nonumber\\
&=2\hbar\omega_0A\sum_{k=0}^\infty\frac{\hat{c}_1^{2k+1,0}}{\sqrt{\pi2^{2k+1}(2k+1)!}}\int_0^\infty dx\,\,H_{2k+1}(x)e^{-x^2}\\
&=:2\hbar\omega_0A\sum_{k=0}^\infty\hat{c}_1^{2k+1,0}D_k
\end{align}
となる。4行目から5行目の変形で$\int_{-\infty}^\infty dy\,\,H_m(y)e^{-y^2}=\int_{-\infty}^\infty dy\,\,H_m(y)H_0(y)e^{-y^2}=\sqrt{\pi}\delta_{m0}$を用いた。$C_k$の計算には次の公式
\begin{equation}
\int_0^t dx\,\,H_{n}(x)e^{-x^2}=H_{n-1}(0)-e^{-t^2}H_{n-1}(t).
\end{equation}
を用いた。この式と、以下の式
\begin{equation}
H_{2k}(0)=\frac{(-1)^k(2k)!}{k!}
\end{equation}
をあわせて用いることで、
\begin{equation}
D_k=\frac{(-1)^k}{(2k+1)k!}\sqrt{\frac{(2k+1)!}{\pi2^{2k+1}}}
\end{equation}
を得る。

式(\ref{onemirrorrot})と(\ref{conversionwithgouy})より、$\hat{c}_1^{10}$は鏡の回転角と鏡の位置での直交位相振幅で表すことができる。つまり、
\begin{align}
&\quad(\mathrm{QPD})(\Omega)\nonumber\\
&=2\hbar\omega_0A\Biggl[\left(\frac{2A}{\alpha(Z)}\delta\hat{\Theta}_\mathrm{ex}(\Omega)+(-\kappa_1+\cot\psi)\hat{b}_1^{10}(\Omega;Z)+\hat{b}_2^{10}(\Omega;Z)\right)D_0\sin\psi\nonumber\\
&\quad+\sum_{k=1}^\infty\hat{c}_1^{2k+1,0}D_k\Biggr]\\
&\propto\delta\hat{\Theta}_\mathrm{ex}(\Omega)+\frac{\alpha(Z)}{2A}\left[(-\kappa_1+\cot\psi)\hat{b}_1^{10}(\Omega;Z)+\hat{b}_2^{10}(\Omega;Z)+\sum_{k=1}^\infty\frac{\hat{c}_1^{2k+1,0}D_k}{D_0\sin\psi}\right].
\end{align}
以上より、$\delta\hat{\Theta}_\mathrm{ex}$を測定する際の量子雑音のパワースペクトルは、
\begin{equation}
S_{\Theta,\psi}^\mathrm{QPD}(\Omega/2\pi)=\frac{\Theta_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_1}\left[(-\kappa_1+\cot\psi)^2+1+\frac{1}{D_0^2\sin^2\psi}\sum_{k=1}^\infty D_k^2\right]
\end{equation}
となる。ここで、
$\arcsin$のTaylor展開
\begin{align}
\arcsin x&=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\\
&=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k+1)!}{2^{2k}(k!)^2}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)^2}
\end{align}
より
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k+1)!}{2^{2k}(k!)^2}\frac{1}{(2k+1)^2}
\end{equation}
であることを用いると、
\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty D_k^2/D_0^2=\frac{\pi}{2}
\end{align}
であることがわかる。よって、
\begin{equation}
S_{\Theta,\psi}^\mathrm{QPD}(\Omega/2\pi)=\frac{\Theta_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_1}\left[(-\kappa_1+\cot\psi)^2+1+\frac{1}{\sin^2\psi}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\right]\label{resultofqpd}
\end{equation}
が得られる。とくに$\psi=\pi/2$のとき、
\begin{equation}
S_{\Theta,\pi/2}^\mathrm{QPD}(\Omega/2\pi)=\frac{\Theta_\mathrm{SQL}^2}{2\kappa_1}\left[\kappa_1^2+\frac{\pi}{2}\right].
\end{equation}

\section{輻射圧雑音を無視した場合: 散射雑音}
式 (\ref{resultofqpd})で、$\kappa_1=0$とすると、つまり輻射圧を考えないことにすると、
\begin{equation}
S_{\Theta,\psi}^\mathrm{QPD,shot}(\Omega)=\frac{\hbar\omega_0}{8P}\cdot\frac{\pi\alpha^2(Z)}{2\sin^2\psi}
\end{equation}
となる。ここでは$\Theta_\mathrm{SQL}$, $\kappa_1$, $A$を用いずに表した。ところで、
\begin{equation}
\sin\psi=\frac{(Z_\mathrm{meas}-Z)/z_0}{\sqrt{1+(Z_\mathrm{meas}/z_0)^2}\sqrt{1+(Z/z_0)^2}}
\end{equation}
と表せることを用いると、
\begin{equation}
\frac{\alpha(Z)}{\sin\psi}=\frac{w(Z_\mathrm{meas})}{Z_\mathrm{meas}-Z}
\end{equation}
である。
これを用いて、
\begin{align}
S_{x,\psi}^\mathrm{QPD,shot}(\Omega/2\pi):=&2^2(Z_\mathrm{meas}-Z)^2S_{\Theta,\psi}^\mathrm{QPD,shot}(\Omega/2\pi)\\
=&\frac{\hbar\omega_0}{P}\frac{\pi}{4} w^2(Z_\mathrm{meas})\label{snofqpd}
\end{align}
となる。$Z_\mathrm{meas}-Z$は光てこを考えたときの「てこ」の腕の長さであるため、$S_{x,\psi}^\mathrm{QPD,shot}$はQPD上でのビーム位置測定の立場での散射雑音である。

一方、QPD上のビーム位置測定の立場での散射雑音は次のようにも導くことができる \cite{MichimuraMemo}。
ビーム位置が$x$だけずれたときのQPDの出力は、$(\mathrm{QPD})=\sqrt{8/\pi}\,Px/w(Z_\mathrm{meas})$である。QPDの出力の揺らぎは、右のセクションのパワー揺らぎと左のセクションのパワー揺らぎが無相関だとして、$S_{(\mathrm{QPD})}^\mathrm{naive}=S_{(\mathrm{right})}+S_{(\mathrm{left})}=2\hbar\omega_0\frac{P}{2}+2\hbar\omega_0\frac{P}{2}=2\hbar\omega_0P$である。したがって、ビーム位置測定の立場での散射雑音は、
\begin{align}
S_{x}^\mathrm{naive}&=S_{(\mathrm{QPD})}^\mathrm{naive}/\left[\sqrt{\frac{8}{\pi}}\frac{P}{w(Z_\mathrm{meas})}\right]^2\\
&=\frac{\hbar\omega_0}{P}\frac{\pi}{4} w^2(Z_\mathrm{meas})
\end{align}
となり、式(\ref{snofqpd})と一致する。

\section{散射雑音の悪化}
式(\ref{resultofqpd})からわかるように、散射雑音は$\sqrt{\pi/2}\simeq 1.25$倍悪くなってしまう。さらに、輻射圧雑音の打ち消しを行う場合にはこの影響はより深刻になる。なぜなら、輻射圧雑音の打ち消しでは信号の量が減るが、10以外の高次モード由来の散射雑音は変化しないからである。では、この散射雑音の悪化は原理的に避けられないのであろうか。この悪化は、QPDの出力は10モード以外の高次モードの寄与を持つから起きるものである。輻射圧によるトルクの表式は10モードのみで表されたことを思い出すと、QPDを用いる代わりに何らかの方法で光の軌道角運動量を測定すれば、このような散射雑音の悪化は起きない。考えられる例として、位置検出にもねじれ振り子を使うというものがある。


\end{document}



%\begin{figure}[h]
%\centering
%\includegraphics[width=12cm]{tilted.eps}
%\caption[ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図]{ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図。}\label{tilted}
%\end{figure}
