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\begin{document}
\chapter{光の空間モード}\label{HGmodes}\thispagestyle{chapheadings}
古典的あるいは量子的な光の取り扱いをするとき、平面波を用いて電磁波の式を表すことが多い。しかし平面波は横方向\footnote{伝播方向に垂直な方向という意味。}の空間的な広がりが無限であるため、実際のレーザー光の伝播やそれに関連する電磁場の揺らぎのように、横方向の広がりが有限である電磁場を表現するのには適切ではない。そこでこの章では、レーザー光のようにほぼ一方向に進む光の空間的な広がりと伝播を表す、光の空間モードについて述べる。
\section{近軸近似とHermite-Gaussianモード}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{HGex.eps}
\caption[Hermite-Gaussianモードの電場の振幅]{いくつかのHermite-Gaussianモードの電場の振幅を表すグラフ。$l,m$がそれぞれ$2$以下のものを図示した。橙色の部分は振幅が正であり、青色の部分は振幅が負であり、濃淡が絶対値の大小を表す。$x$方向、$y$方向の次数に応じて電場に節が存在することがわかる。}\label{HGex}
\end{figure}
%導出、各パラメータの意味、
電磁波の波動方程式
\begin{equation}
\left(\bm{\nabla}^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial^2t}\right)\bm{E}(\bm{x},t)=0\label{wave}
\end{equation}
の解を次のように表すことを考える。
\begin{align}
\bm{E}(\bm{x},t)&=\bm{E}^{(+)}+\bm{E}^{(-)}\qquad(\bm{E}^{(+)}=\bm{E}^{(-)*}),\\
\bm{E}^{(-)}(\bm{x},t)&=\bm{\psi}(\mathbf{x},z,\omega)\,\mathrm{e}^{i\omega(t-z/c)}.\label{separation}
\end{align}
ここで$\mathbf{x}=[x,\,y]$である。式(\ref{separation})のように電場を分離することは、平面波のように変化する部分とゆっくりとした変化する振幅部分に分けることに対応する。そこで、$\bm{\psi}$の$z$方向の変化はゆっくりであると仮定し、
\begin{equation}
\left|\frac{\partial^2\bm{\psi}}{\partial z^2}\right|\ll \frac{\omega}{c}\left|\frac{\partial\bm{\psi}}{\partial z}\right| \label{paraxialcond}
\end{equation}
を課す。すると、波動方程式(\ref{wave})は
\begin{equation}
\left(\bm{\nabla}^2_\perp-2i\frac{\omega}{c}\frac{\partial}{\partial z}\right)\psi(\mathbf{x},z,\omega)=0\label{paraeq}
\end{equation}
となる。ここで$\bm{\nabla}^2_\perp=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2$である。このような波動方程式の近似を近軸近似という。これ以降、電磁波の偏光を1つ選び電場をスカラーとして扱うこととする\footnote{式(\ref{HGtrans})からわかるように近軸近似では$|k_{x,y}/k|\lesssim \lambda/w_0\ll 1$となるため、伝播方向がほぼ一様とみなせる。したがって電場をスカラーとして扱って問題ない。}。

近軸近似された波動方程式の解として、次のような解の組がある。
\begin{align}\begin{aligned}
\psi_{lm}(\mathbf{x},z,\omega)=&\sqrt{\frac{2}{\pi w^2(z)}}\frac{1}{\sqrt{2^ll!2^mm!}}H_{lm}\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(z)},\frac{\sqrt{2}y}{w(z)}\right)\\
&\times\mathrm{exp}\left[\left(-\frac{1}{w^2(z)}-i\frac{k}{2R(z)}\right)(x^2+y^2)+i(l+m+1)\zeta(z)\right].
\end{aligned}\label{HGphi}
\end{align}
次数$l,m$は非負整数である。ここで、各記号の定義は以下のようである。
\begin{align}
k&=\omega/c,\\
\zeta(z)&=\arctan(z/z_0),\\
z_0&=kw_0^2/2,\label{z0}\\
w(z)&=w_0\sqrt{1+z^2/z_0^2},\\
R(z)&=z+z_0^2/z,\\
H_n(x)&=(-1)^n\mathrm{e}^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\mathrm{e}^{-x^2},\\
H_{lm}(x,y)&=H_l(x)H_m(y).
\end{align}
$w_0$は実パラメータである。$xy$平面での電場の分布がHermite多項式とGaussianの積になっており (図\ref{HGex})、このような解の組$\{\psi_{lm}\}$をHermite-Gaussian (HG) モードという。$\psi_{lm}$を$lm$モードまたは$\mathrm{TEM}{lm}$モードといい、特に00モードを基本モードという。通常のレーザー光のモードは基本モードである。また、括り出した$\mathrm{e}^{i(\omega t-kz)}$と合わせて
\begin{equation}
U_{lm}(\bm{x},t):=\psi_{lm}(\mathbf{x},z,\omega)\,\mathrm{e}^{i(\omega t-kz)}\label{HGU}
\end{equation}
もHGモードと呼ぶことが多い。

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{HGprop.eps}
\caption[基本モードの波面]{基本モードの波面と、$z_0,\,w(z),\,R(z)$を表した模式図。}\label{HGprop}
\end{figure}
HGモードの振る舞いや式(\ref{HGphi})に現れる量の意味について考えよう。基本モードの波面を図示すると図\ref{HGprop}のようになる。
式(\ref{HGphi})からわかるように、基本モードの電場の振幅は$xy$平面上でGaussianになっている。そのGaussianの広がりを特徴づけるのが$w(z)$であり、ビーム径と呼ばれる。$w(z)$は双曲線になっており、伝播するにしたがってビーム径が双曲線のように広がっていくことを意味する。$w_0$は$z=0$ (ビームウエスト) でのビーム径である。$|z|\gg z_0$では$w(z)\simeq 2z/kw_0=:\alpha_0z$と振る舞い、ビームの広がり角が$\alpha_0$となる\footnote{$\alpha_0$は$w_0$に反比例する。つまり、ビームを絞るほどビームの広がり角は大きくなってしまうということである。}。次に$R(z)$について考える。$[0,\,0,\,z]$を通る等位相面 (波面) は式(\ref{HGphi})と(\ref{HGU})より
\begin{equation}
\Delta z+\frac{x^2+y^2}{2R(z)}=0
\end{equation}
である。ここで、$\Delta z$は$[0,\,0,\,z]$からの$z$方向のずれである。等位相面の式を$\Delta z$の2次以降を無視して変形すると
\begin{equation}
(R(z)+\Delta z)^2+x^2+y^2=R^2(z)
\end{equation}
を得る。したがって、$R(z)$は$z$での波面の曲率半径を表す。次に、Rayleigh長と呼ばれる$z_0$について考える。$|z|\ll z_0$では、$w(z)\simeq w_0,\,R(z)/z\gg1$であることからビームを平行光線として扱うことができる。反対に$|z|\gg z_0$では、$w(z)\propto z,\,|z-R(z)|\ll z_0$であることからビームを点波源から広がる球面波として扱うことができる。つまり、$z_0$はビームがどれだけ平行になっているかを表す量であることがわかる。式(\ref{z0})より長い距離を平行に伝播させるためにはビーム径を大きくしなければいけないということがわかる\footnote{平行な光の極限として平面波があるが、平面波の横方向の広がりは無限である。}。さらに、Gouy位相$\zeta(z)$について考える。これは伝播の際の基本モードと高次モードの位相差である。ある距離伝播したとき、$lm$モードは基本モードと比較して$(l+m)\zeta$だけ位相変化が少ない。$|z|\gg z_0$で$\zeta(z)\simeq\pm\pi/2$である。

最後に、HGモードが近軸近似の条件(\ref{paraxialcond})を満たすかどうかを調べる。
\begin{equation}
\left|\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\right|\bigg/\frac{\omega}{c}\left|\frac{\partial\psi}{\partial z}\right|\sim (kw_0)^{-2}\sim\left(\frac{\lambda}{w_0}\right)^2
\end{equation}
であり、ビーム径が波長より十分大きければ条件を満たすことがわかる。ビーム径が波長より十分大きい範囲ではHGモードは正確な解であるということである。重力波検出器で用いるレーザーは通常$\lambda\sim1\,\mathrm{\mu m},\,w_0\sim0.1\text{--}100\,\mathrm{mm}$程度だから$\lambda\ll w_0$が十分成り立ち、レーザー光の電場を表現するのにHGモードを用いることができる。

\section{Hermite-Gaussianモードの量子化}\label{quantize}
%appendixに、0点振動、a1のパワースペクトルが正しいことを書く(normalizationが合ってること)
前節でHGモードが近軸近似における波動方程式の解であることがわかった。それでは、レーザー光やそれに関連する揺らぎを議論する際にHGモードを考えるだけで十分なのであろうか。その答えを知るために、HGモードを平面波と関連付けることを考える。

まず準備として、HGモードの持つ性質を列挙する。
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty dxdy\,\psi^*_{lm}(\mathbf{x},z,\omega)\psi_{l'm'}(\mathbf{x},z,\omega)&=\delta_{ll'}\delta_{mm'}\label{ortho},\\
\sum_{l,m=0}^\infty\psi^*_{lm}(\mathbf{x},z,\omega)\psi_{lm}(\mathbf{x}',z,\omega)&=\delta^2(\mathbf{x}-\mathbf{x}').\label{complete}
\end{align}
式(\ref{ortho})はHGモードの正規直交性、式(\ref{complete})は完全性を表す。また、HGモードの横方向のFourier変換$\psi(\bm{k}_\perp,z,\omega)$を
\begin{equation}
\psi_{lm}(\mathbf{x},z,\omega)=\int_{-\infty}^\infty\frac{d^2\bm{k}_\perp}{(2\pi)^2}\,\psi(\bm{k}_\perp,z,\omega)\,\mathrm{e}^{-i\bm{k}_\perp\cdot\mathbf{x}}\label{psifourier}
\end{equation}
で定義すると、
\begin{align}
&\sum_{l,m=0}^\infty\psi^*_{lm}(\bm{k}_\perp,z,\omega)\psi_{lm}(\bm{k}'_\perp,z,\omega)=(2\pi)^2\delta^2(\bm{k}_\perp-\bm{k}'_\perp),\label{kcomplete}\\
&\psi_{lm}(\bm{k}_\perp,z,\omega)=\psi_{lm}(\bm{k}_\perp,0,\omega)\,\mathrm{exp}\left(i\frac{k^2_\perp c}{2\omega}z\right)\label{propformula}
\end{align}
の性質を満たす。式(\ref{kcomplete})は式(\ref{complete})から直ちに導かれ、式(\ref{propformula})は式(\ref{psifourier})を波動方程式(\ref{paraeq})に代入することで導ける。

以上の準備で、平面波で展開された電場をHGモードでの展開に変換することを考える。$|\bm{k}_\perp|\ll k$の平面波だけを考え、考える周波数帯域$\Delta\omega$が$\Delta\omega\ll\omega$である場合、電場の平面波展開は次のように書ける \cite{Aiello2010}。
\begin{align}
E^{(-)}(\bm{x},t)=\int_0^\infty\frac{d\omega}{2\pi}\,\mathrm{e}^{i\omega(t-z/c)}\int_{-\infty}^\infty\frac{d^2\bm{k}_\perp}{(2\pi)^2}E(\bm{k}_\perp,\omega)\mathrm{e}^{-i\bm{k}_\perp\cdot\mathbf{x}}\,\mathrm{exp}\left(i\frac{k^2_\perp c}{2\omega}z\right)\label{planewave}.
\end{align}
ここで、式(\ref{kcomplete})と(\ref{propformula})を用いると
\begin{align}
\mathrm{e}^{-i\bm{k}_\perp\cdot\mathbf{x}}\,\mathrm{exp}\left(i\frac{k^2_\perp c}{2\omega}z\right)&=\int_{-\infty}^\infty d^2\bm{k}'_\perp\mathrm{e}^{-i\bm{k}'_\perp\cdot\mathbf{x}}\,\mathrm{exp}\left(i\frac{k'^2_\perp c}{2\omega}z\right)\delta^2(\bm{k}_\perp-\bm{k}'_\perp)\nonumber\\
&=\int_{-\infty}^\infty \frac{d^2\bm{k}'_\perp}{(2\pi)^2}\mathrm{e}^{-i\bm{k}'_\perp\cdot\mathbf{x}}\,\mathrm{exp}\left(i\frac{k'^2_\perp c}{2\omega}z\right)\sum_{l,m=0}^\infty\psi^*_{lm}(\bm{k}_\perp,0,\omega)\psi_{lm}(\bm{k}'_\perp,0,\omega)\nonumber\\
&=\sum_{l,m=0}^\infty\psi^*_{lm}(\bm{k}_\perp,0,\omega)\int_{-\infty}^\infty \frac{d^2\bm{k}'_\perp}{(2\pi)^2}\mathrm{e}^{-i\bm{k}'_\perp\cdot\mathbf{x}}\psi_{lm}(\bm{k}'_\perp,z,\omega)\nonumber\\
&=\sum_{l,m=0}^\infty\psi^*_{lm}(\bm{k}_\perp,0,\omega)\psi_{lm}(\mathbf{x},z,\omega)
\end{align}
を得る。したがって、式(\ref{planewave})はさらに
\begin{align}
E^{(-)}(\bm{x},t)=&\sum_{l,m=0}^\infty\int_0^\infty\frac{d\omega}{2\pi}\,U_{lm}(\bm{x},t)E_{lm}(\omega),\label{HGdecom}\\
E_{lm}(\omega):=&\int_{-\infty}^\infty\frac{d^2\bm{k}_\perp}{(2\pi)^2}E(\bm{k}_\perp,\omega)\psi^*_{lm}(\bm{k}_\perp,0,\omega)\label{HGtrans}
\end{align}
となる。式(\ref{HGdecom})は、近軸近似の適用できるような$|\bm{k}_\perp|\ll k$の平面波はHGモードの線型和で書き表せるということを意味している。$\bm{k}_\perp$の分の自由度が$l,m$の自由度に変換されていると解釈することもできる。

ここまでは電磁場を古典的に扱ってきたが、次にHGモードを量子化することを考える。よく知られた平面波を用いた電磁場の量子化を行った上で式(\ref{HGtrans})のような変換をすることで量子化されたHGモードを得ることができ、近軸近似の範囲内の任意の量子化された電磁場$\hat{E}(\bm{x},t)$は次のように表される \cite{Wunsche2004,Aiello2010,Enomoto2016b}。
\begin{align}
\hat{E}(\bm{x},t)&=\sum_{l,m=0}^\infty\int_0^\infty\frac{d\omega}{2\pi}\sqrt{\frac{2\pi\hbar\omega}{c}}\left[U^*_{lm}(\bm{x},t)
\hat{a}^{lm}_{\omega}+U_{lm}(\bm{x},t)\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega}\right]\label{QHG}\\
&=:\sum_{l,m=0}^\infty \hat{E}_{lm}(\bm{x},t)
\end{align}
ここで、HGモードの生成消滅演算子$\hat{a}^{lm}_{\omega}$は式(\ref{HGtrans})と同様に平面波の生成消滅演算子$a(\bm{k}_\perp,\omega)$から
\begin{equation}
\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega}:=\int_{-\infty}^\infty\frac{d^2\bm{k}_\perp}{(2\pi)^2}a^\dagger(\bm{k}_\perp,\omega)\psi^*_{lm}(\bm{k}_\perp,0,\omega)
\end{equation}
と定まり、式(\ref{ortho})より交換関係
\begin{equation}
\left[\hat{a}^{lm}_{\omega},\,\hat{a}^{\dagger l'm'}_{\omega'}\right]=2\pi \delta_{ll'}\delta_{mm'}\delta(\omega-\omega')\label{HGcomm}
\end{equation}
を満たす。$\hat{a}^{lm}_{\omega}$は、周波数$\omega$の$lm$モードの光子を消滅させる演算子である。

さらに2光子形式 \cite{Caves1985} にならって、サイドバンド周波数$\Omega:=\omega-\omega_0$を用いた表式を導こう。$|\Omega|\ll\omega_0$として、
\begin{align}
\hat{a}^{lm}_1(\Omega)&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{a}^{lm}_{\omega_0+\Omega}+\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega_0-\Omega}\right),\\
\hat{a}^{lm}_2(\Omega)&=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left(\hat{a}^{lm}_{\omega_0+\Omega}-\hat{a}^{\dagger lm}_{\omega_0-\Omega}\right),\\
\hat{a}^{lm}_j(z,t)&=\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}\Omega}{2\pi} \left(\hat{a}^{lm}_j(\Omega)\mathrm{e}^{i\Omega(z/c-t)}+\hat{a}^{\dagger lm}_j(\Omega)\mathrm{e}^{-i\Omega(z/c-t)}\right)\quad(j=1,2)
\end{align}
を定義すると、
\begin{equation}
\hat{E}_{lm}(\bm{x},t)=\sqrt{\frac{4\pi\hbar\omega_0}{c}}u_{lm}(\bm{x})\left[\hat{a}^{lm}_1(z,t)\cos\phi_{lm}+\hat{a}_2^{lm}(z,t)\sin\phi_{lm}\right]\label{HGquad}
\end{equation}
と書き表せる。$\hat{a}^{lm}_j$は直交位相振幅と呼ばれる。ここで、
\begin{align}
u_{lm}(\bm{x})&=\sqrt{\frac{2}{\pi w^2(z)}}\frac{1}{\sqrt{2^ll!2^mm!}}H_{lm}\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(z)},\frac{\sqrt{2}y}{w(z)}\right)\,\mathrm{exp}\left(-\frac{x^2+y^2}{w^2(z)}\right),\\
U_{lm}(\bm{x},t)&=u_{lm}(\bm{x})\,\mathrm{e}^{i\phi_{lm}}
\end{align}
である。また、$\hat{E}_{lm}=\hat{E}^{(+)}_{lm}+\hat{E}^{(-)}_{lm},\,\left(\hat{E}^{(+)}_{lm}=\hat{E}^{(-)\dagger}_{lm}\right)$と分解すると、
\begin{align}
\hat{E}^{(-)}_{lm}(\bm{x},t)&=\sqrt{\frac{\pi\hbar\omega_0}{c}}U_{lm}(\bm{x},t)\left[\hat{a}^{lm}_1(z,t)-i\hat{a}^{lm}_2(z,t)\right]\label{HGquad2}
\end{align}
と書き表すこともできる。交換関係は
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left[\hat{a}^{lm}_1(\Omega),\,\hat{a}^{\dagger l'm'}_2(\Omega')\right]&=i2\pi\delta_{ll'}\delta_{mm'}\delta(\Omega-\Omega'),\\
\left[\hat{a}^{lm}_1(\Omega),\,\hat{a}^{\dagger l'm'}_1(\Omega')\right]&=\left[\hat{a}^{lm}_2(\Omega),\,\hat{a}^{\dagger l'm'}_2(\Omega')\right]\\
&=2\pi\delta_{ll'}\delta_{mm'}\delta(\Omega-\Omega'),\\
\left[\hat{a}^{lm}_1(\Omega),\,\hat{a}^{l'm'}_2(\Omega')\right]&=0
\end{aligned}\label{HGcomm2}
\end{equation}
となる。さらに、$\hat{a}^{lm}_j(z,t)$のパワースペクトルとクロススペクトル$S^{lm,l'm'}_{jk}(f)$は真空状態に対して次のようになる。
\begin{equation}
S^{lm,l'm'}_{jk}(f)=\delta_{jk}\delta_{ll'}\delta_{mm'}\quad(j,k=1,2).\label{vacspec}
\end{equation}

\section{共振器と空間モード}
\ref{sec:config}節からわかるように実際の干渉計型重力波検出器は多くの共振器の組み合わせからなっているが、共振器に対する光の振る舞いを考える際には光の空間モードを考えることが重要である。なぜなら、光が共振器で共振状態となるためには光が共振器を1周して得る位相が$2\pi$の整数倍であるだけではなく、波面の曲率やビーム半径が1周する前と後とで一致する必要があるからである。そこでこの節では共振器の中でHGモードで表される光がどのように振る舞うかをみる。

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{FPeigen.eps}
\caption[Fabry--Perot共振器と固有モード]{向かい合う球面鏡からなるFabry--Perot共振器とその固有モード。$c_1,c_2$はそれぞれの鏡の曲率中心であり、固有モードの伝播の軸、つまり式(\ref{HGphi})における$z$軸は$c_1,c_2$を通るように定まっている。}\label{cavexample}
\end{figure}
図\ref{cavexample}のように球面鏡が向き合ったFabry--Perot共振器を考えよう。鏡に反射するところで鏡の面と波面の曲率中心が一致していれば、反射した光は入射してきた経路をそのまま戻るように進む。したがって図\ref{cavexample}に描かれているような光は共振器の中で共振しうる。そのような共振しうる光のモードを、共振器の固有モードという。固有モードのRayleigh長$z_0$とウエスト位置から見た鏡の位置$z_1,z_2$は、鏡の曲率$R_1,R_2$と鏡間の距離$L$を用いて次のように表される。なお、この表式の導出は補遺\ref{FP}を参照のこと\footnote{ここで、$\mathrm{sgn}(g_1)=\mathrm{sgn}(g_2)=\mathrm{sgn}(g_1+g_2-2g_1g_2)$であることに触れておく。}。
\begin{align}
z_0&=\frac{L\sqrt{g_1g_2(1-g_1g_2)}}{|g_1+g_2-2g_1g_2|},\label{eigen0}\\
z_j&=\frac{Lg_1g_2(1-g_j)}{g_j(g_1+g_2-2g_1g_2)}\quad(j=1,2).\label{eigenj}
\end{align}
ここでgファクター$g_j$は
\begin{equation}
g_j=1-\frac{L}{R_j}
\end{equation}
で定義される。つまり、鏡の曲率半径とその間の距離を決めると共振しうるモードが決定されるのである。ただし$z_0$が実であることから、共振器で共振する固有モードが存在するためには$0<g_1g_2<1$の条件を満たす必要がある。

共振器の固有モードの光は共振器で共振しうるが、一般には全ての$lm$モードが同時に共振するのではない。なぜなら、次数の異なるモードはGouy位相の分だけ空間を伝播するときに獲得する位相が異なるので、あるモードが共振しているとき次数の異なるモードも共振するわけではないからである。それでは次数の異なるモード間の位相差はどのようになるのであろうか。図\ref{cavexample}のような共振器では、1周の伝播の間のGouy位相シフト$\zeta_\mathrm{round}$は
\begin{equation}
\zeta_\mathrm{round}=2\arctan\left(\frac{z_1}{z_0}\right)+2\arctan\left(\frac{z_2}{z_0}\right)
\end{equation}
と表せる。$\tan$の加法定理を用いると
\begin{equation}
\tan\left[\arctan\left(\frac{z_1}{z_0}\right)+\arctan\left(\frac{z_2}{z_0}\right)\right]=\mathrm{sgn}(g_1)\sqrt{\frac{1-g_1g_2}{g_1g_2}}\label{halfroundgouy}
\end{equation}
が得られることから、
\begin{align}
\cos\zeta_\mathrm{round}&=\frac{1-\tan^2\left[\arctan\left(\frac{z_1}{z_0}\right)+\arctan\left(\frac{z_2}{z_0}\right)\right]}{1+\tan^2\left[\arctan\left(\frac{z_1}{z_0}\right)+\arctan\left(\frac{z_2}{z_0}\right)\right]}\\
&=2g_1g_2-1\label{roundgouy}
\end{align}
となり、$\zeta_\mathrm{round}$をgファクターを用いて表せることがわかる。図\ref{TMSex}に、光の周波数と各次数のモードの共振の様子の関係の一例を示した。次数によって共振周波数がずれていて、次数が1違うと共振周波数が$\mathrm{FSR}\times\zeta_\mathrm{round}/2\pi$だけ異なる。なお、FSRはfree spectral rangeの略であり、共振器の隣り合う共振周波数の周波数差、すなわち$\mathrm{FSR}=c/2L$である (補遺\ref{FP})。つまり、共振器の中で共振するのは、固有モードの光のうち1周の位相も共振条件を満たしている次数のモードだけであるということである。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{TMSex.eps}
\caption[空間モードの次数と共振の様子]{光の周波数と各次数のモードの共振の様子。周波数は基本モードが共振する周波数を0として表した。$\mathrm{FSR}=10\,\mathrm{MHz},\zeta_\mathrm{round}=\arccos0.7$である。このグラフは、共振器を透過するあるモードの光のパワーが周波数に応じてどう変化するかを示している。}\label{TMSex}
\end{figure}

%固有モードを使って光を展開することを考える。HGモードの完全性に触れながら。
それでは次に、共振器に適切な光を入射することで共振器の中に実際に光を共振させることを考える。例えば基本モードの光を共振させるとしよう。そのためには、共振させたい基本モードと一致したレーザー光を共振器に入射すればよい\footnote{周波数あるいは共振器長の制御も当然必要である。}。しかし、完全にモードが一致した光を入射することは実際には不可能である。そこで、入射光のモードが共振器の固有基本モードとどれだけ一致しているかを考える必要がある。式(\ref{complete})よりHGモードは完全系をなすため、入射光の電場を共振器の固有モードで次のように展開することができる。
\begin{equation}
E^{(-)}_\mathrm{in}(\bm{x},t)=\sum_{l,m=0}^\infty U_{lm}(\bm{x},t)E_{lm}.
\end{equation}
ここで、
\begin{align}
\eta:=\frac{|E_{00}|^2}{\sum_{l,m=0}^\infty|E_{lm}|^2}
\end{align}
をモードマッチ率という。入射光のパワー全体のうち、共振器の固有基本モードで表される電場のパワーの割合がどれだけであるかを表している。入射光の伝播の軸やウエスト位置やRayleigh長を共振器の固有モードのものとなるべく一致させることで高いモードマッチ率を得ることができ、入射光のなるべく多くの光を共振器で共振させることができるのである。

\section{基本モードと高次モードの干渉}
%ジッターと$z_0,z_{origin}$等が10,20であることの導出。
\ref{quantize}節で、近軸近似の範囲内でHGモードが完全系をなすことがわかった。それでは完全系をなすことの具体例として、ビームジッター\footnote{ビームの位置や進む方向がふらつくこと。}をもっていたりウエスト位置やRayleigh長が少しずれているような基本モードの電場が、基準となるHGモードの線型和として実際に表されることをみてみよう。このことは、干渉計型重力波検出器において入射ビームと共振器の固有モードの伝播軸のずれの検出 (wave front sensing; WFS) \cite{Morrison1994} やモードマッチの制御 (active mode matching) \cite{Mueller2000} の原理として用いられている。

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{tilted.eps}
\caption[ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図]{ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図。}\label{tilted}
\end{figure}
まず、図\ref{tilted}のようにビームウエストでビームの中心が$\delta x$だけずれて伝播方向が$\delta\theta$だけ傾いているような基本モードの電場を考える。
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
z\\
x\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\cos\delta\theta&\sin\delta\theta\\
-\sin\delta\theta&\cos\delta\theta\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
z'\\
x'\\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0\\
\delta x\\
\end{bmatrix}
\end{equation}
で$[z',\,x']$を定義すると、図\ref{tilted}のような基本モードの電場は$U_{00}(x',y,z',t)$で表される。$U_{00}(x',y,z',t)$を$\delta x,\,\delta\theta$の1次までで展開し$w_0\gg\lambda$を用いると、
\begin{align}
U_{00}(x',y,z',t)&\simeq\left[1-\frac{2x(z\delta\theta-\delta x)}{w^2(z)}\right]\left[1+ikx\delta\theta-ik\frac{x}{R(z)}(z\delta\theta-\delta x)\right]U_{00}(x,y,z,t)\nonumber\\
&\simeq\left[1+\frac{2x}{w(z)}\frac{1+iz/z_0}{\sqrt{1+(z/z_0)^2}}\left(\frac{\delta x}{w_0}+i\frac{\delta\theta}{\alpha_0}\right)\right]U_{00}(x,y,z,t)\nonumber\\
&=U_{00}(x,y,z,t)+\left(\frac{\delta x}{w_0}+i\frac{\delta\theta}{\alpha_0}\right)U_{10}(x,y,z,t)\label{superjitter}
\end{align}
となる。$\alpha_0=2/kw_0$である。したがって、ジッターをもつ基本モードは小さな10モードの重ね合わせによって表されることがわかる\footnote{$y$方向のジッターは01モードの重ね合わせで表されることも同様にわかる。}。ここで、位置のずれ$\delta x$は同位相での重ね合わせ、角度のずれ$\delta\theta$は$90^\circ$差での重ね合わせで表されていることが見てとれる。

次に、Rayleigh長が$z_0+\delta z_0$でありウエスト位置が$\delta z$である基本モードの電場がどのように書き表されるかを考える。そのような光は$U_{00}(x,y,z-\delta z,t)|_{z_0\rightarrow z_0+\delta z_0}$で表される。これを$\delta z_0,\delta z$の1次までで展開すると、
\begin{align}
&\quad U_{00}(x,y,z-\delta z,t)|_{z_0\rightarrow z_0+\delta z_0}\nonumber\\
&\simeq\left[1-\cos2\zeta(z)\frac{\delta z_0}{2z_0}+\sin2\zeta(z)\frac{\delta z}{2z_0}\right]\left[1+\frac{x^2+y^2}{w^2(z)}\left(\cos2\zeta(z)\frac{\delta z_0}{z_0}-\sin2\zeta(z)\frac{\delta z}{z_0}\right)\right]\nonumber\\
&\times\left[1+i\frac{k(x^2+y^2)}{2R(z)}\left(\cos2\zeta(z)\frac{\delta z_0}{z}+\sin2\zeta(z)\frac{\delta z}{z}\right)\right]\left[1-i\sin2\zeta(z)\left(\frac{\delta z_0}{2z_0}+\frac{\delta z}{2z_0}\right)\right] \nonumber\\
&\times U_{00}(x,y,z,t)\,\mathrm{e}^{ik\delta z}\nonumber\\
&\simeq\left[1+\mathrm{e}^{2i\zeta(z)}\left(\frac{2(x^2+y^2)}{w^2(z)}-1\right)\left(\frac{\delta z_0}{2z_0}+i\frac{\delta z}{2z_0}\right)\right]U_{00}(x,y,z,t)\,\mathrm{e}^{i\left(k\delta z-\frac{\delta z}{2z_0}\right)}\nonumber\\
&=\left[U_{00}(x,y,z,t)+\left(\frac{\delta z_0}{2z_0}+i\frac{\delta z}{2z_0}\right)\frac{U_{20}(x,y,z,t)+U_{02}(x,y,z,t)}{\sqrt{2}}\right]\,\mathrm{e}^{i\left(k\delta z-\frac{\delta z}{2z_0}\right)}
\end{align}
となる。ここで、定数の位相因子$\mathrm{exp}[i(k\delta z-\delta z/2z_0)]$は時刻$t$の再定義で消すことができるので無視できる。この表式より、Rayleigh長のずれやウエスト位置のずれが、20モードと02モードの重ね合わせで表されることがわかる。ここで、Rayleigh長のずれ$\delta z_0$は同位相での重ね合わせ、ウエスト位置のずれ$\delta z$は$90^\circ$差での重ね合わせで表されていることが見てとれる。



\end{document}






