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\begin{document}
\chapter{Fabry--Perot共振器}\label{FP}\thispagestyle{chapheadings}
Fabry--Perot共振器とは、2枚の向き合った鏡からなる共振器である。鏡の間を光が何度も往復することで光が内部で増幅される。この章では、Fabry--Perot共振器に対して光がどのように振る舞うかを調べ、またFabry--Perot共振器の固有モードの表式(\ref{eigen0})、(\ref{eigenj})の導出を行う。
\section{様々な関係式}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{FP.eps}
\caption[Fabry--Perot共振器の模式図]{Fabry--Perot共振器の模式図。}\label{FPschematic}
\end{figure}
この節ではFabry--Perot共振器の固有基本モードだけを考えることにし、空間モードは考えないこととする。図\ref{FPschematic}のような共振器を考え、共振器内部の電場や共振器を透過または反射される電場を考えることとする。光の入射側の鏡をinput test mass (ITM)、もう一方の鏡をend test mass (ETM)と呼ぶことにする。ITMとETMの振幅反射率と振幅反射率はそれぞれ$r_1,t_1$と$r_2,t_2$とする。パワー反射率や透過率は$R_1:=r_1^2$などと大文字を用いて表すことにする。ここで、共振器内部側からの反射では反射率$r_j$、外側からは$-r_j$であるとする。共振器を1周する間のパワーのロス率を$A$とする。共振器の長さを$L$とする。

入射電場$E_\mathrm{i}$がITMのところで$E_\mathrm{i}(t)=E_0\mathrm{e}^{i\omega_0t}$と表されているとする。このとき内部電場$E_\mathrm{in}$は、共振器1周で得る位相$\phi=2\omega_0L/c-\zeta_\mathrm{round}$を用いて
\begin{align}
E_\mathrm{in}(t)&=\sum_{n=0}^\infty t_1E_\mathrm{i}(t)\left( r_1r_2\mathrm{e}^{-i\phi}\right)^n\\
&=\frac{t_1}{1-r\mathrm{e}^{-i\phi}}E_\mathrm{i}(t)\label{intra}
\end{align}
と書ける\footnote{式(\ref{intra})で$t_1E_\mathrm{i}(t)$をひとかたまりとしてみると、共振器内部に生成される電場は$1/(1-r\mathrm{e}^{-i\phi})$だけ増幅されることがわかる。}。ここで$r:=r_1r_2$を定義した。同様に、透過する電場$E_\mathrm{t}$と反射する電場$E_\mathrm{r}$も
\begin{align}
E_\mathrm{t}(t)&=\frac{t_1t_2}{1-r\mathrm{e}^{-i\phi}}E_\mathrm{i}(t),\label{transmission}\\
E_\mathrm{r}(t)&=\left[-r_1+\frac{t_1^2r_2\mathrm{e}^{-i\phi}}{1-r\mathrm{e}^{-i\phi}}\right]E_\mathrm{i}(t)\label{reflection}
\end{align}
のようになる。式(\ref{reflection})において、共振時 ($\phi\equiv0\,(\mathrm{mod}\,2\pi)$) に第1項と第2項の絶対値の大小を比べたとき第2項が大きいときその共振器はオーバーカップリングであるといい、第1項が大きいときはアンダーカップリングであるといい、等しいときはクリティカルカップリングまたはインピーダンスマッチドであるという。

共振器内にためられている光のパワー$P_\mathrm{in}$は、入射光のパワーを$P_0$とすると式(\ref{intra})より
\begin{align}
P_\mathrm{in}&=\frac{T_1}{(1-r)^2+4r\sin^2(\phi/2)}P_0\label{intrapower1}\\
&\simeq\frac{4T_1}{(1-R)^2+4\delta\phi^2}P_0\quad(1-R\ll1,\,|\delta\phi|\ll1)\label{intrapower2}
\end{align}
となる。ここで$\delta\phi\equiv\phi\,(\mathrm{mod}\,2\pi),\,-\pi<\delta\phi\le\pi$で$\delta\phi$を定義した。光の周波数のずれを$\delta f$とおくと$\delta\phi=2\pi\cdot2\delta fL/c$であるが、共振器内パワーを入射光の周波数の関数としてプロットすると図\ref{resonance}のようになる。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{FPreso2.eps}
\caption[共振器内パワーと周波数の関係]{共振器内パワーと周波数の関係を表すグラフ。}\label{resonance}
\end{figure}
式(\ref{intrapower1})より周波数が$c/2L$変化するごとに共振ピークが現れることがわかるが、そのことが図\ref{resonance}でも見て取れる。$c/2L$をフリースペクトラルレンジ (free spectral range; FSR)という。また式(\ref{intrapower1})と(\ref{intrapower2})より
\begin{equation}
\delta f=f_c:=\frac{c}{2\pi L}\arcsin\frac{1-r}{2\sqrt{r}}\simeq\frac{c}{8\pi L}(1-R)
\end{equation}
のとき、共振器内パワーが共振時の半分となる。したがって共振ピークの半値全幅 (full width at half maximum; FWHM) はこれの2倍 ($2f_c$) である。FSRとFWHMの比から、共振器の共振の鋭さを表すパラメータであるフィネス$\mathcal{F}$が定義され、
\begin{equation}
\mathcal{F}:=\frac{\mathrm{FSR}}{\mathrm{FWHM}}=\frac{2\pi}{4\arcsin[(1-r)/2\sqrt{r}]}\simeq\frac{2\pi}{1-R}
\end{equation}
で求まる。

フィネスの物理的意味を知るために次のようなことを考えよう。まずは、共振器内の光子の平均往復回数を考える。$n$回往復する確率は$(1-R)R^n$で表されるので、平均往復回数$N_\mathrm{avg}$は
\begin{align}
N_\mathrm{avg}&=\sum_{n=0}^\infty n\cdot(1-R)R^n\\
&=\frac{R}{1-R}\simeq\frac{\mathcal{F}}{2\pi}
\end{align}
となる。つまり、フィネスは光子の平均的な往復回数に比例する量である。同様に共振器内の光子の平均滞在時間$\tau_s$も
\begin{equation}
\tau_s\simeq\frac{2L}{c}\frac{\mathcal{F}}{2\pi}
\end{equation}
で表される。次に、鏡の位置の変位の信号の共振器による増幅を考えよう。共振状態から共振器長が$\Delta L$だけ変化した時の共振器の反射光は、簡単のためオーバーカップリングの極限 ($t_2=0,\,A=0$) で式(\ref{reflection})を変形することで
\begin{align}
E_\mathrm{r}(t)\simeq\left[1-i\frac{(1+r_1)^2}{1-R_1}\frac{2\omega\Delta L}{c}\right]E_\mathrm{i}
\end{align}
と書ける。単に鏡に光を反射させる場合は、鏡の位置が$\Delta L$だけ変化すると反射光の位相は$-2\omega\Delta L/c$だけ変化することから、変位信号の共振器による増幅率は
\begin{equation}
\frac{(1+r_1)^2}{1-R_1}\simeq\frac{2}{\pi}\mathcal{F}
\end{equation}
となり、フィネスに比例することがわかる。この式から、干渉計型重力波検出器のショットノイズは腕共振器のフィネスに比例してショットノイズが改善することがわかる。

周波数$f_c$の意味を考えよう。式(\ref{intra})は$f_c$を用いて
\begin{equation}
E_\mathrm{in}(t)/E_\mathrm{i}(t)\simeq\frac{2t_1}{1-R}\,\frac{1}{1+i\delta f/f_c}
\end{equation}
と書くことができる。この式より、共振器による増幅は1次のローパスフィルターの性質を持ち、ローパスのポールの周波数は$f_c$となることがわかる。そのため、$f_c$はキャビティポール周波数と呼ばれる。

\section{Fabry--Perot共振器の固有モード}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{FPeigen.eps}
\repeatcaption{cavexample}{向かい合う球面鏡からなるFabry--Perot共振器とその固有モード。$c_1,c_2$はそれぞれの鏡の曲率中心であり、固有モードの伝播の軸、つまり式(\ref{HGphi})における$z$軸は$c_1,c_2$を通るように定まっている。}
\end{figure}
式(\ref{eigen0})と(\ref{eigenj})を導出しよう。共振器長が$L$であることと$z=z_j$で曲率半径が$R_j$であることから、
\begin{align}
z_1+z_2&=L\label{cond0},\\
z_1\left(1+\frac{z_0^2}{z_1^2}\right)&=R_1\label{cond1},\\
z_2\left(1+\frac{z_0^2}{z_2^2}\right)&=R_2\label{cond2}
\end{align}
を満たす必要がある。式(\ref{cond1})と(\ref{cond2})を足して式(\ref{cond0})を用いることで、
\begin{align}
z_0^2&=\left(\frac{R_1+R_2}{L}-1\right)z_1z_2\\
&=\frac{1-g_1g_2}{(1-g_1)(1-g_2)}z_1z_2\label{cond3}
\end{align}
を得る。また、式(\ref{cond1})と(\ref{cond2})の差をとって式(\ref{cond0})を用いると
\begin{align}
z_1-z_2&=\frac{L(R_1-R_2)}{2L-R_1-R_2}\\
&=\frac{L(g_2-g_1)}{g_1+g_2-2g_1g_2}\label{cond4}
\end{align}
を得る。したがって、式(\ref{cond0})と式(\ref{cond4})より
\begin{equation}
z_j=\frac{Lg_1g_2(1-g_j)}{g_j(g_1+g_2-2g_1g_2)}\quad(j=1,2)\tag{\ref{eigenj}}
\end{equation}
となる。この式を式(\ref{cond3})に代入することで、
\begin{equation}
z_0=\frac{L\sqrt{g_1g_2(1-g_1g_2)}}{|g_1+g_2-2g_1g_2|}\tag{\ref{eigen0}}
\end{equation}
が求められる。


\end{document}



%\begin{figure}[h]
%\centering
%\includegraphics[width=12cm]{tilted.eps}
%\caption[ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図]{ビームジッターをもつ基本モードの光の模式図。}\label{tilted}
%\end{figure}
